Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
книга1.docx
Скачиваний:
116
Добавлен:
21.09.2019
Размер:
700.53 Кб
Скачать

При введении понятий синуса и косинуса угла а полезно использовать модель, соответ- свующую рисунку 98. Использование модели позволяет наглядно показать изменение значе- ний функций cos а и sin а, при возрастании а от 0° до 180°. Следует заметить, что в учеб- нике эта зависимость формулируется на созер- цательной основе. Основное тригонометриче- ское тождество получается в данном случае ав- томатически.

Так как синус и косинус угла а определены соответственно как ордината и абсцисса точки М единичной полуокружности, то координаты (х; у) любой точки М единичной полуокружности удовлетворяют уравнению х2 + у2-1. Заменяя х и у соответственно на cos а и sin а, получаем sin2 а + cos2 а -1,

( 0° < а < 180°) - основное тригонометрическое тождество.

Историческая справка

Слово «тригонометрия» состоит из двух греческих слов: «тригонон» — треугольник и «метрайн» — измерять. В буквальном смысле «тригонометрия» означает «измерение тре­угольников». Как и всякая наука, тригонометрия возникла из потребностей жизни. Развитие мореплавания требовало умения определять положение корабля в открытом море по солнцу и звездам. Войны, которые правители вели между собой, требовали умения определять большие расстояния и составлять карты местности. Землепашцу надо было знать смену времен года, чтобы гноевременно производить необходимые сельскохозяйственные работы; лицам, связанным с ис­полнением религиозных обрядов, необходимо определять дни праздников и т. д.

Повседневная жизнь становилась немыслима без календаря. Все это и многое другое привело к необходимости развивать астрономию — науку о движении небесных светил, а развитие астрономии было немыслимо без развития тригонометрии.

Астрономия, а вместе с ней и тригонометрия возникли и развивались у народов с раз- нитой торговлей и сельским хозяйством: у вавилонян, греков, индийцев, китайцев. За­родилась она много веков назад. Об этом мы можем судить не только по догадкам, но и изу­чая письменные памятники древности. Указывается, что в одной китайской рукописи, напи- i анной около 2637 г. до н. э., имеются сведения по астрономии и применяются вычисления | ри гонометрического характера.

Вавилоняне уже в начале третьего тысячелетия до н. э. имели календарь с делением юда на 12 месяцев. Значит, они умели определять положения солнца и звезд на небесном г иоде, то есть владели некоторыми познаниями тригонометрического характера.

Названия тригонометрических функций сложились исторически на протяжении ряда исков. Слово «синус» индийского происхождения. Полную хорду индийцы называли «джи- мл», т. е. тетива лука. Позднее при переводах с индийского на арабский и с арабского на ла- I и некий язык подлинный смысл слова был искажен. Хотя слово «синус» никак не характери­зует обозначаемой им тригонометрической функции, это название прочно вошло в матема- I ичсский язык во всем мире.

Понятия «косинус дуги», «тангенс дуги», «котангенс дуги» и другие впервые встречаются и книге «Шакл ул - Гита» знаменитого азербайджанского ученого Насирэдцина Т у с и. У него встречаются только соответствующие понятия, современных же терминов он не употребляет.

I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.

255

Например, синус угла, дополняющий данный до 90°, называли «синусом дополнения» (по-латыни sinus complementi). В дальнейшем этот символ претерпел такие изменения: sinus со, со. — sinus. В 1600 г. английский ученый Э. Г ё н т е р употребил впервые слово «cosinus», а в 1748 г. Эйлер впервые употребил современную запись cos х.

Сирийский ученый ал-Б а т т а н и (X в.) первым пришел к выводу, что острый угол в прямоугольном треугольнике можно определить отношением одного катета к другому.

Слово «тангенс» (касающийся) взято из латинского языка, в Европе введено То­масом Финком в 1583 г.

Первые тригонометрические таблицы были составлены во втором веке до н. э. Их ав­тором был греческий астроном Г и п п а р х. Таблицы эти до нас не дошли, но в усовершен­ствованном виде они были включены в «Альмагест» («Великое построение») александрий­ского астронома Птолемея.

В средние века наибольшие успехи в развитии тригонометрии были достигнуты уче­ными Средней Азии и Закавказья. В это время к тригонометрии начинают относиться как к самостоятельной науке, не связывая ее, как прежде, с астрономией. Большое внимание уделя­ется задаче решения треугольников. Одним из самых примечательных сочинений по тригоно­метрии этого периода является «Трактат о четырехугольнике» Насир Э д д и н а (XIII век). В этом трактате введен ряд новых тригонометрических понятий, по-новому доказаны некото­рые уже известные результаты. Основные работы по тригонометрии в Европе были выпол­нены почти на два столетия позднее. Здесь следует прежде всего отметить немецкого учено­го Региомонтана (XV век). Его главное произведение «Пять книг о различного рода треугольниках» содержит достаточно полное изложение основ тригонометрии. От наших нынешних учебников по тригонометрии это сочинение отличается в основном лишь отсутст­вием удобных современных обозначений. Все теоремы сформулированы словесно. После появления «Пяти книг» Региомонтана тригонометрия окончательно выделилась в самостоя­тельную науку, не зависящую от астрономии. Региомонтаном составлены также довольно подробные тригонометрические таблицы.

Развитие алгебраической символики и введение в математику отрицательных чисел позволило рассматривать отрицательные углы; появилась возможность рассматривать три­гонометрические функции числового аргумента. Развитие математики позволило вычислять значения тригонометрических функций любого числа с любой наперед заданной точностью.

Существенный вклад в развитие тригонометрии внес Леонард Эйлер (1707-1783). Им дано современное определение тригонометрических функций и указано на тесную связь этих функций с показательными функциями.

В настоящее время тригонометрические функции лежат в основе специального мате­матического аппарата, так называемого гармонического анализа, при помощи которого изу­чаются различного рода периодические процессы: колебательные движения, распростране­ние волн, некоторые атмосферные явления и пр.

Вопросы и задания

  1. Какова роль тригонометрических функций в школьном курсе математики?

  2. Какие возможны пути введения тригонометрических функций в школьный курс математики?

  3. Опишите различные системы изложения тригонометрических функций у разных авторов школьных учебников?

  4. Проанализируйте структуру изложения тригонометрических функций в учебниках геометрии А. В. Погорелова и JL С, Атанасяна и др. Сделайте выводы.

  5. Опишите методику введения понятий синуса, косинуса и тангенса ост­рого угла прямоугольного треугольника.

256

  1. Как происходит расширение области определения тригонометрических функций на случай любого угла от 0° до 180°?

  2. При изучении каких вопросов в курсе геометрии основной школы ис­пользуются тригонометрические функции?

  3. Проанализируйте учебники геометрии для 7-9-х классов авторов Смирновой И. М., Смирнова В.А. и Шарыгина И. Ф. с точки зрения изучения в них тригонометрических функций. Выявите особенности изложения этого ма­териала, сделайте выводы.

  4. Изучите историческую справку к данной теме и подготовьте по ней со­общение.

Рекомендуемая литература

  1. А л е к с а н д р о в, А. Д., В е р н е р А. Л., Р ы ж и к В. И. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений/ А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. - 3-е изд., до- раб. - М.: Просвещение, 2003. - 272 с..

  2. Геометрия 7-9: Учеб. для общеобразоват. учреждений / Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 13-е изд. - М.: Просвещение, 2003. - 384 с.

  3. Г у с е в, В. А. Геометрия - 6 (7, 8, 9): Эксперимент, учеб. / В.А. Гусев. - М.: Авангард. 1995 (1996- 1998,2001).

  4. К а п к а е в а, Л. С. Интеграция алгебраического и геометрического методов при обуче­нии математике в школе / Л. С. Капкаева: Учеб. пособие для студ. мат. спец. пед. вузов. - Саранск, 2003. - 179 с.

  5. К и с е л е в, А. П. Элементарная геометрия. Книга для учителя / А. П. Киселев. - М.: Про­свещение, 1980. - 287 с.

  6. К о л м о г о р о в, А. Н. и др. Геометрия, 6-8 класс / А. Н. Колмогоров. - М.: Просвеще­ние, 1980.

  7. К о л я г и н, Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе. Частные мето­дики. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г. Л. Луканкин, Е. Л. Мокрушин и др.. - М.: Просвещение, 1977.

  8. Лабораторные и практические работы по методике преподавания математики: Учеб. пособие ддя студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко и др.; Под ред. Е. И. Лященко. - М.: Просвещение, 1988. - 223 с.

  9. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. М и ш и н. - М.: Просвещение, 1987. - 416 с.

  10. П о г о р е л о в, А. В. Геометрия. Учеб.для 7 - 11 кл. сред. пш. / А.В. Погорелов. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1991. - 384 с.

  11. С а р а н ц е в, Г. И. Методика преподавания геометрии в девятилетней школе: Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пед. ин-тов / Г.И. Саранцев. - Саранск: Мордов. гос. пед. ин-т, 1992. - 130 с.

  12. С м и р н о в а, И. М., Смирнов, В. А. Геометрия 7-9 / И. М. Смирнова, В. А. Смир­нов. - М.: Мнемозина, 2007.

  13. UI ар ы г и н, И. Ф. Геометрия 7 - 9 / И.Ф. Шарыгин. - М.: Дрофа, 1998. - 352 с..

  14. http://alexlarin.narod.ru/Abitur/razdel7.html

  15. http.V/ru.wildpedia.0rg/wiki/TpHr0H0MeTpH4ecKHej})yHKnHH

  16. http://www.bymath.net/index.html

257