- •Цели, содержание и структура курса математики 5-6 классов
- •Значение и место учения о числе в курсе математики общеобразовательной школы
- •5 Класс
- •6 Класс
- •3. Различные пути расширения понятия числа
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •4. Методика изучения натуральных чисел
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •5. Основные вопросы методики изучения дробей
- •6. Методика изучения положительных и отрицательных чисел
- •I. Основные типы преобразований и этапы их изучения
- •III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).
- •Буквенной части слагаемых пока остается первой.
- •1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики
- •2. Основные понятия линии уравнений и неравенств
- •I * hi лаже он и возникает по ходу обсуждения процесса решения, то ответ на не-
- •Если обе части уравнения умножить или разделить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному.
- •* Последовательность изучения линии уравнений и неравенств
- •I )гапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в основной школе
- •1* Курсе математики 5 класса понятие уравнения трактуется аналогично.
- •Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
- •I Ъшить уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.
- •Решение квадратных уравнений и неравенств
- •Il Графический метод (I способ)
- •Графический метод
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Il Графический метод
- •Il Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •Графический метод
- •1. Цели обучения решению текстовых задач
- •2. Пропедевтика алгебраического и геометрического методов решения текстовых задач
- •3. Этапы решения задач на составление уравнений и их реализация
- •Этап {перевод задачи на геометрический язык).
- •Этап (решение задачи на геометрическом языке).
- •1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики
- •2. Различные трактовки понятия функции
- •3. Методика введения понятия функции
- •Этап. Мотивация введетя понятия.
- •Исследовать функцию на основные свойства.
- •Использовать изученные свойства функций при решении различных задач, в частности уравнений и неравенств.
- •Влияние коэффициентов hub на поведение функции
- •Взаимное расположение графиков линейных функции
- •Б. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции
- •1. Цели и задачи курса геометрии основной школы
- •2. Содержание обучения геометрии в 7-9 классах
- •3. Логические основы изложения геометрии в 7-9 классах
- •Аксиомы принадлежности
- •Аксиомы порядка
- •Аксиомы измерения отрезков и углов
- •Рекомендуемая литература
- •1. Методика изучения основных свойств простейших геометрических фигур
- •1. Учебник а. В. Погорелова: § 1 «Основные свойства простейших геометрических фигур»,
- •Определения «через ближайший род и видовые отличия»
- •Измерение отрезков и углов
- •3. Учебник а. Д. Александрова и др,: глава I «Начала геометрииж
- •2. Методика формирования геометрических понятий
- •3, Обучение решению задач на первых уроках геометрии
- •II группа
- •1. Различные подходы к формированию понятия равенства фигур
- •Что нужно знать, чтобы утверждать равенство треугольников abc и dek1
- •На рисунке 55 изображено два равных треуголь- ника. Написать равенство этих треугольников, обозначив их вершины.
- •Если разносторонние треугольники abc и dkm
- •11Ри иодом пример.
- •I (сн тральное место в изучении равных треугольников занимают признаём риионота треугольников.
- •Доказательство:
- •Доказательство:
- •Треугольники вас и cdb равны. Напишите все соотношения, из ко- торых следует равенство указанных треугольников.
- •Напишите соотношение между элемен- тами треугольников abc и adc, из которых следовало бы их равенство.
- •Какие методические подходы существуют к введению понятия ранено гва фигур в школьном курсе геометрии? Какой подход, на Ваш взгляд, милмется наиболее удачным?
- •В чем особенности введения понятия равных треугольников в разных учебниках геометрии?
- •Приведите примеры упражнений на усвоение понятия равных треугольников.
- •I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.
- •I. Методика изучения признаков параллельности прямых.
- •1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости
- •2. Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости
- •4. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости
- •В данной плоскости через точку вне данной прямой можно провести только одну прямую, параллельную данной.
- •Сумма внутренних углов треугольника равна 2d.
- •1. Различные подходы к изучению многоугольников
- •2. Методика изучения четырехугольников
- •Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,
- •Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечении делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.
- •Какие из систем неравенств задают на плоскости трапецию и почему? Покажите штриховкой множество точек плоскости, заданное системой неравенств:
- •1 H найти площадь трапеции.
- •1, Имеет1 ли ось симметрии фигура, заданная системой неравенств:
- •Верно ли утверждение: а) любой правильный многоугольник является выпуклым; б) любой выпуклый многоугольник является правильным?
- •Чему равны градусные меры углов: а) правильного пятиугольника; б) правильного двенадцатиугольника; в) правильного тридцатишестиугольника?
- •Множество направленных отрезков плоскости.
- •Множество классов направленных отрезков плоскости.
- •Множество параллельных переносов плоскости.
- •Начертите равнобочную трапецию: а) существуют ли векторы, определяемые её вершинами и равные по длине? б) Сколько пар сонаправленных векторов задают вершины трапеции?
- •Сколько пар сонаправленных (противоположно направленных) векторов определяют вершины параллелограмма?
- •Начертить параллелограмм, обозна- чить его вершины и написать все равные ме- жду собой векторы, началом и концом кото- рых являются вершины параллелограмма.
- •Векторы а и ъ равны, что следует из этого?
- •3. Методика изучения действий с векторами
- •II. Умножение вектора на число
- •Учебник геометрии а. В. Погорелова.
- •Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.
- •Построить вектор, представляющий сумму
- •4. Методика обучения решению задач с помощью векторов
- •1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.
- •Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .
- •Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-
- •Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,
- •VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла между векторами.
- •Какие действия с векторами изучаются в школьном курсе геометрии?
- •Б) в треугольнике лвс известны длины всех сторон. Определить его углы.
- •II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.
- •Простейшие задачи в координатах на плоскости
- •Уравнения фигур на плоскости
- •4. Особенности применения метода координат
- •5. Методика формирования координатного метода решения задач
- •Решение (координатный метод)
- •Iэтап(оптимальный выбор прямоугольной системы координат). Выберем прямоугольную систему координат так, как показано на рис. 93.
- •Этап (перевод задачи на координатный
- •Так как м середина стороны вс, то л/
- •Этап (решение задачи на координат- ном языке).
- •Рекомендуемая литература
- •Значение тригонометрических функций в школьном курсе математики и различные подходы к их изложению
- •I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
- •Этапы изучения линии уравнений, неравенств и их систем в
- •Системы уравнений с двумя переменными, в которых
- •Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на
- •Различные подходы к введению понятии параллельности пря
При
введении понятий синуса и косинуса
угла
а
полезно использовать модель,
соответ-
свующую рисунку 98. Использование
модели
позволяет наглядно показать
изменение значе-
ний функций cos
а
и sin
а,
при возрастании
а
от 0° до 180°. Следует заметить, что в
учеб-
нике эта зависимость формулируется
на созер-
цательной основе. Основное
тригонометриче-
ское тождество
получается в данном случае ав-
томатически.
Так
как синус и косинус угла а
определены соответственно как ордината
и абсцисса точки М
единичной полуокружности, то координаты
(х; у) любой точки М
единичной полуокружности удовлетворяют
уравнению х2
+ у2-1.
Заменяя х
и у соответственно на cos
а
и sin
а,
получаем sin2
а
+ cos2
а
-1,
(
0° < а
< 180°) - основное тригонометрическое
тождество.
Историческая
справка
Слово
«тригонометрия» состоит из двух
греческих слов: «тригонон» — треугольник
и «метрайн» — измерять. В буквальном
смысле «тригонометрия» означает
«измерение треугольников». Как и
всякая наука, тригонометрия возникла
из потребностей жизни. Развитие
мореплавания требовало умения определять
положение корабля в открытом море по
солнцу и звездам. Войны, которые правители
вели между собой, требовали умения
определять большие расстояния и
составлять карты местности. Землепашцу
надо было знать смену времен года, чтобы
гноевременно производить необходимые
сельскохозяйственные работы; лицам,
связанным с исполнением религиозных
обрядов, необходимо определять дни
праздников и т. д.
Повседневная
жизнь становилась немыслима без
календаря. Все это и многое другое
привело к необходимости развивать
астрономию — науку о движении небесных
светил, а развитие астрономии было
немыслимо без развития тригонометрии.
Астрономия,
а вместе с ней и тригонометрия возникли
и развивались у народов с раз- нитой
торговлей и сельским хозяйством: у
вавилонян, греков, индийцев, китайцев.
Зародилась она много веков назад.
Об этом мы можем судить не только по
догадкам, но и изучая письменные
памятники древности. Указывается, что
в одной китайской рукописи, напи- i
анной
около 2637 г. до н. э., имеются сведения по
астрономии и применяются вычисления
| ри гонометрического характера.
Вавилоняне
уже в начале третьего тысячелетия до
н. э. имели календарь с делением юда на
12 месяцев. Значит, они умели определять
положения солнца и звезд на небесном
г иоде, то есть владели некоторыми
познаниями тригонометрического
характера.
Названия
тригонометрических функций сложились
исторически на протяжении ряда исков.
Слово «синус» индийского происхождения.
Полную хорду индийцы называли «джи-
мл», т. е. тетива лука. Позднее при
переводах с индийского на арабский и
с арабского на ла- I и некий язык подлинный
смысл слова был искажен. Хотя слово
«синус» никак не характеризует
обозначаемой им тригонометрической
функции, это название прочно вошло в
матема- I ичсский язык во всем мире.
Понятия
«косинус дуги», «тангенс дуги», «котангенс
дуги» и другие впервые встречаются и
книге «Шакл ул - Гита» знаменитого
азербайджанского ученого Насирэдцина
Т у с и. У него встречаются только
соответствующие понятия, современных
же терминов он не употребляет.
255I ермипы «косинус», «котангенс» и др. Появились в XI—XVII вв.
Например,
синус угла, дополняющий данный до 90°,
называли «синусом дополнения» (по-латыни
sinus
complementi).
В
дальнейшем этот символ претерпел такие
изменения: sinus
со,
со. — sinus.
В
1600 г. английский ученый Э. Г ё н т е р
употребил впервые слово «cosinus»,
а
в 1748 г. Эйлер впервые употребил современную
запись cos
х.
Сирийский
ученый ал-Б а т т а н и (X в.) первым пришел
к выводу, что острый угол в прямоугольном
треугольнике можно определить отношением
одного катета к другому.
Слово
«тангенс» (касающийся) взято из латинского
языка, в Европе введено Томасом
Финком
в 1583 г.
Первые
тригонометрические таблицы были
составлены во втором веке до н. э. Их
автором был греческий астроном Г и
п п а р х. Таблицы эти до нас не дошли,
но в усовершенствованном виде они
были включены в «Альмагест» («Великое
построение») александрийского
астронома Птолемея.
В
средние века наибольшие успехи в
развитии тригонометрии были достигнуты
учеными Средней Азии и Закавказья.
В это время к тригонометрии начинают
относиться как к самостоятельной науке,
не связывая ее, как прежде, с астрономией.
Большое внимание уделяется задаче
решения треугольников. Одним из самых
примечательных сочинений по тригонометрии
этого периода является «Трактат о
четырехугольнике» Насир Э д д и н а
(XIII век). В этом трактате введен ряд
новых тригонометрических понятий,
по-новому доказаны некоторые уже
известные результаты. Основные работы
по тригонометрии в Европе были выполнены
почти на два столетия позднее. Здесь
следует прежде всего отметить немецкого
ученого Региомонтана
(XV век). Его главное произведение «Пять
книг о различного рода треугольниках»
содержит достаточно полное изложение
основ тригонометрии. От наших нынешних
учебников по тригонометрии это сочинение
отличается в основном лишь отсутствием
удобных современных обозначений. Все
теоремы сформулированы словесно. После
появления «Пяти книг» Региомонтана
тригонометрия окончательно выделилась
в самостоятельную науку, не зависящую
от астрономии. Региомонтаном составлены
также довольно подробные тригонометрические
таблицы.
Развитие
алгебраической символики и введение
в математику отрицательных чисел
позволило рассматривать отрицательные
углы; появилась возможность рассматривать
тригонометрические функции числового
аргумента. Развитие математики позволило
вычислять значения тригонометрических
функций любого числа с любой наперед
заданной точностью.
Существенный
вклад в развитие тригонометрии внес
Леонард Эйлер (1707-1783). Им дано современное
определение тригонометрических функций
и указано на тесную связь этих функций
с показательными функциями.
В
настоящее время тригонометрические
функции лежат в основе специального
математического аппарата, так
называемого гармонического анализа,
при помощи которого изучаются
различного рода периодические процессы:
колебательные движения, распространение
волн, некоторые атмосферные явления и
пр.
Вопросы
и задания
Какова
роль тригонометрических функций в
школьном курсе математики?
Какие
возможны пути введения тригонометрических
функций в школьный курс математики?
Опишите
различные системы изложения
тригонометрических функций у разных
авторов школьных учебников?
Проанализируйте
структуру изложения тригонометрических
функций в учебниках геометрии А. В.
Погорелова и JL
С,
Атанасяна и др. Сделайте выводы.
Опишите
методику введения понятий синуса,
косинуса и тангенса острого угла
прямоугольного треугольника.
256
Как
происходит расширение области
определения тригонометрических функций
на случай любого угла от 0° до 180°?
При
изучении каких вопросов в курсе
геометрии основной школы используются
тригонометрические функции?
Проанализируйте
учебники геометрии для 7-9-х классов
авторов Смирновой И. М., Смирнова В.А.
и Шарыгина И. Ф. с точки зрения изучения
в них тригонометрических функций.
Выявите особенности изложения этого
материала, сделайте выводы.
Изучите
историческую справку к данной теме и
подготовьте по ней сообщение.
Рекомендуемая
литература
А
л
е к с а н д р о в, А. Д., В е р н е р А. Л., Р
ы ж и к В. И. Геометрия: Учеб. для 7-9 кл.
общеобразоват. учреждений/ А.Д.
Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. -
3-е изд., до- раб. - М.: Просвещение, 2003. -
272 с..
Геометрия
7-9:
Учеб. для общеобразоват. учреждений /
Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев
и др. - 13-е изд. - М.: Просвещение, 2003. - 384
с.
Г
у с е в, В. А. Геометрия - 6 (7, 8, 9): Эксперимент,
учеб. / В.А. Гусев. - М.: Авангард. 1995 (1996-
1998,2001).
К
а п к а е в а, Л. С. Интеграция алгебраического
и геометрического методов при обучении
математике в школе / Л. С.
Капкаева: Учеб. пособие для студ. мат.
спец. пед. вузов. - Саранск, 2003. - 179 с.
К
и с е л е в, А. П. Элементарная геометрия.
Книга для учителя / А. П. Киселев. - М.:
Просвещение, 1980. - 287 с.
К
о л м о г о р о в, А. Н.
и
др. Геометрия, 6-8 класс / А. Н. Колмогоров.
- М.: Просвещение, 1980.
К
о л я г и н, Ю. М. Методика преподавания
математики в средней школе. Частные
методики. Учеб. пособие для студентов
физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин,
Г. Л. Луканкин, Е. Л. Мокрушин и др.. - М.:
Просвещение, 1977.
Лабораторные
и практические работы по методике
преподавания математики: Учеб. пособие
ддя студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов
/ Е. И. Лященко, К. В. Зобкова, Т. Ф. Кириченко
и др.; Под ред. Е. И. Лященко. - М.:
Просвещение, 1988. - 223 с.
Методика
преподавания математики в средней
школе: Частная методика: Учеб. пособие
для студентов пед. ин-тов по физ.-мат.
спец. / А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев
и др.; Сост. В.И. М и ш и н. - М.: Просвещение,
1987. - 416 с.
П
о г о р е л о в, А. В. Геометрия. Учеб.для
7 - 11 кл. сред. пш. / А.В. Погорелов. - 3-е
изд. - М.: Просвещение, 1991. - 384 с.
С
а р а н ц е в, Г. И. Методика преподавания
геометрии в девятилетней школе: Учебное
пособие для студентов физ.-мат.
факультетов пед. ин-тов / Г.И. Саранцев.
- Саранск: Мордов. гос. пед. ин-т, 1992. -
130 с.
С
м и р н о в а, И. М., Смирнов,
В. А. Геометрия 7-9 / И. М. Смирнова, В. А.
Смирнов. - М.: Мнемозина, 2007.
UI
ар
ы г и н, И. Ф. Геометрия 7 - 9 / И.Ф. Шарыгин.
- М.: Дрофа, 1998. - 352 с..
http://alexlarin.narod.ru/Abitur/razdel7.html
http.V/ru.wildpedia.0rg/wiki/TpHr0H0MeTpH4ecKHej})yHKnHH
http://www.bymath.net/index.html
257