Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
книга1.docx
Скачиваний:
116
Добавлен:
21.09.2019
Размер:
700.53 Кб
Скачать

Ъ 3 1 3 1

Xq = __= -}у0 = f(xo) = значит, точка (-; --) является вершиной

параболы, а прямая х = ^ - осью параболы.

Для второй функции_у2 = 2х-х2, то естьу2~-х2 + 2х, имеем:

х0 = 1, уо = f(xo) = 1, значит, точка (1; 1)

является вершиной параболы, а прямая х = 1 - осью параболы. Затем осуществляем построе- ние графиков функций (рис. 9). Абсциссы то- чек пересечения графиков дают корни исход- 1 0

ного уравнения: х\ = -, х2 = 2.

Используя рисунок, решаем неравенет- ва: х2 - Зх + 2 > 2х “X2 их2 - Зх + 2 < 2х -х2. Решить первое (второе) неравенство - на

рис< 9 геометрическом языке означает, найти те зна-

чения х, при которых график функции^ распо­ложен выше (ниже) графика функции^. Из рисунка получаем ответ: х < 0,5, х> 2 (0,5 <х<2).

В приведенных примерах интеграция алгебраического и геометрического методов преследует цель, показать учащимся графическую интерпретацию ре­шения квадратного уравнения в случае, если оно имеет два корня (парабола пе­ресекает ось ОХ в двух точках), один корень (парабола имеет с осью ОХ одну общую точку, т.е. касается её), не имеет корней (парабола не пересекает ось ОХ).

Аналогично, дается графическая интерпретация решения квадратных неравенств, соответствующих данному квадратному уравнению, что приво­дит к укрупнению дидактических единиц (квадратные уравнения и неравен­ства рассматриваются одновременно). В ходе решения осуществляется посто­янный перевод информации с алгебраического языка на геометрический и об­ратно, что влияет на развитие как понятийно-логического, так и эмоционально - образного типов мышления.

В результате сопоставления выполняемых алгебраических и геометри­ческих действий осуществляется контроль за ходом решения, а также про­гнозирование некоторых результатов.

    1. Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени

В восьмом классе после изучения квадратных уравнений программой предусмотрено знакомство учащихся с решением простейших систем, со­держащих уравнение второй степени. Однако в учебниках приводится только алгебраический метод их решения (способ подстановки и способ сложения), хотя решения многих таких систем имеют наглядную геометрическую ин­терпретацию, а в некоторых случаях (особенно когда в системе оба уравне-

79

ния второй степени) аналитический метод недоступен школьникам, он при- водит к решению кубического уравнения, и тогда графический метод являет- ся единственно возможным для решения данной системы.

Поэтому в процессе обучения решению указанных систем уравнений целесообразно рассматривать параллельно алгебраический и графический методы решения, сравнивать их, выбирать наиболее рациональный из них. Следует рассмотреть с учащимися разные случаи, когда система уравнений имеет одно решение, два или более решений, не имеет решений, когда систему трудно (или даже невозможно) решить аналитически и др. Для решения систе- мы алгебраическим и графическим методами используем алгоритм, анало- гичный алгоритму решения системы двух линейных уравнений с двумя пе- ременными. Приведем примеры.

Пример 7. Решить систему уравнений:

Гх2~^ = 8,

[х —у = 2.

Решение./, Алгебраический метод (способ подстановки)

  1. Выразим;/ через х из второго уравнения системы:

у = х- 2.

  1. Подставим найденное выражение вместо у в первое уравнение системы:

х2-(х-1) = 8.

  1. Решим полученное уравнение:

х2-х + 2-8 = 0, х2 - 6 = 0, откуда х\ = 3; х2 = -2.

  1. Подставим найденные значения х в формулу>> = х - 2:

уг = 3 - 2 = 1,д>2 = -2 -2 = -4.

  1. Пары (3; 1) и (-2; -4) являются решениями данной системы уравнений.

Ответ: (3; 1), (-2; -4).

П. Графический метод

  1. Из каждого уравнения системы

fy = x2-8,

1у = х - 2.

выразим^ через х:

  1. Построим в одной системе ко- ординат графики первого и второго уравнений системы I рафиком первого уравнения является парабола, а второго

  • прямая. Для построения параболы найдем координаты её вершины - это точка (0; -8), и координаты точки пе- ресечения с осью абсцисс, для этого решим уравнение: х2 - 8 = 0, откуда х1 = -2лД,х2 = 2л/2. Осью симметрии

параболы является ось ординат. Можно

Рис. 10

80