построить
параболу и иначе, сдвигом параболы^ =
х2
вдоль оси OYна
8
единиц
нм
из
(рис. 10).
Из
рисунка видим, что графики пересекаются
в двух точках А
и В.
Координаты
этих точек дают нам решение системы
уравнений: А
(-2; -4),
В{
3; 1).
Ответ:
(-2; -4), (3; 1).
Решив
несколько аналогичных систем, учащиеся
делают вывод:
L
Если
система двух уравнений с двумя
переменными, одно из ко-
торых или
оба второй степени, имеет решения, то
геометрически это
означает, что
графики уравнений системы пересекаются
и координаты
точек пересечения
являются решениями данной системы.
Верно
и об-
ратное: если графики уравнений
указанной системы пересекаются,
то
система имеет решения, которыми
являются координаты точек пере-
сечения
графиков.
Пример
8.
Решить систему уравнений:
Г
2х2
+у
=
5,
[у
+ 6х-х2
= 8.
Решение./.
Алгебраический
метод (способ сложения)
Из
каждого уравнения системы выразим у
через х:
[у
=
5 -
2х2,
=
8
- 6х
+ х2.
Вычтем
из первого уравнения второе и решим
полученное уравнение:
-Зх2
+ 6х
- 3 = 0,
х2
- 2х
+ 1
= 0
или (х - I)2
= 0,
откудах = 1.
Подставив
вместо х, найдем у:
у
= 5 - 2 = 3.
Ответ:
(1; 3).
Первое
действие такое же, как
и в случае
алгебраического метода:
Гу
=
5 -
2х2,
у
= 8
- 6х
+ х2.
Построим
в одной системе ко-
ординат графики
функций у\
= 5 - 2х2
и
У2
~
8
- 6х
+ х2
(рис. 11). Графиками яв-
ляются две
параболы. Для построения
каждой из
них найдем координаты
вершины
параболы и ось симметрии.
Ух
= - 2х2
+ 5, вершиной данной
параболы является
точка (0; 5), а осью
симметрии - прямая
х = 0.
У2
=
х2
- 6х
+ 8,
Рис.
11
81
Графический метод
Хо
~ ~
= 3, у0
= f(xo)
=
-1,
значит, вершиной параболы является
точка
(3;
-1),
а осью симметрии - прямая х = 3.
Построение
парабол осуществляем по схеме,
рассмотренной нами.
Из
рисунка видно и аналитическое решение
подтверждает это, что па-
раболы
имеют одну общую точку С, то есть
касаются, координаты этой точ-
ки и
являются решением данной системы
уравнений: С (1; 3).
От
в ет: (1; 3).
Таким
образом, получаем вывод:
L
Если
система двух уравнений с двумя
переменными, одно из ко-
торых или
оба второй степени,
имеет
единственное решение, то гео-
метрически
это означает, что графики первого и
второго уравнений
системы касаются
или пересекаются в одной точке.
Верно
и обратное:
если графики уравнений
указанной системы касаются или
пересекаются
в одной точке, то данная
система имеет единственное решение,
кото-
рым являются координаты точки
касания или пересечения графиков.
Пример
9. Решить систему уравнений:
х2+у2
= 4,
х-у = 4.
Решение./.
Алгебраический
метод (способ подстановки)
Выразим^
через х из второго уравнения системы:
у-х-4,
Подставим
в первое уравнение системы вместо у
полученное выражение:
х2
+ (х
- 4)2
= 4.
Решим
полученное уравнение, предварительно
преобразовав его:
х2
+ х2
- 8х
+ 16 - 4 = О,
2х2
- 8х
+ 12
= О,
х2
— 4х + 6
= 0.
Дискриминант
этого уравнения D
= 4- 6
= -2<0,
это
означает, что
уравнение не имеет
действительных корней, следовательно,
и система урав-
нений
не имеет решений.
Ответ:
решений нет.
//.
Графический
метод
Построим
в одной системе коор-
динат графики
первого и второго урав-
нений. График
первого уравнения есть
окружность
с центром в точке (0;
0)
и
радиусом г
—
2. Графиком второго урав-
нения
является прямая, проходящая че-
рез
точки (4; 0) и (0; -4) (рис. 12).
Из
рисунка видим, что графики
уравнений
системы не имеют общих то-
чек, а это
означает, что система уравне“
ний
не имеет решений.
82
