пониманию необходимости введения новых чисел, т.е. к расширению понятия числа. С учащимися выясняется также такое свойство множества натуральных чисел, как бесконечность.

С помощью координатного луча сравниваются натуральные числа между собой, устанавливаются понятия «равно», «больше» и «меньше» для натураль­ных чисел. Важно, чтобы ученики усвоили такие понятия, как «числа, следую­щие за данным», «числа, предшествующие данному», умели ответить на вопро­сы: сколько чисел может непосредственно следовать за данным, сколько чисел может непосредственно предшествовать данному, кроме 1. На этом этапе дает* ся запись четного и нечетного чисел формулами: 2п, 2п + 1.

Особое внимание следует уделить действиям над многозначными числа­ми, трудным случаям умножения и деления, действиям с нулем и единицей и, в частности, «закону поглощения 0 (а + 0 = а, 0 + а = а)». Необходимо показать учащимся, что, например, действия 1 • а = а, 0 ■ а = 0 являются, по существу, следствиями из определения действия умножения, а <я : 1 = а, я : а = 1, 0 : а = О, а : К- из определения действия деления.

После изучения действий над натуральными числами можно рассмотреть с учениками вопрос о замкнутости множества натуральных чисел относительно сложения и умножения и отметить, что в отношении вычитания это свойство не выполняется.

Большое внимание в этой теме следует уделить законам арифметических действий (переместительному, сочетательному, распределительному). В учебни­ках математики они формулируются как свойства сложения и умножения. Важно показать глубокое теоретическое значение законов, так как у учащихся обычно создается впечатление, что законы нужны лишь для упрощения арифметических действий. В 5 классе законы арифметических действий записываются в общем ви­де с использованием буквенной символики. Рассмотрение коммутативного (пере­местительного) и ассоциативного (сочетательного) законов умножения целесооб­разно связать с геометрическим материалом, а именно с вычислением площадей прямоугольников и объемов прямоугольных параллелепипедов.

5. Основные вопросы методики изучения дробей

Второе расширение понятия числа, с которым встречаются учащиеся, за­ключается в присоединении к целым неотрицательным числам дробных поло­жительных чисел. На этом этапе следует добиться от них того, чтобы они четко различали понятия «дробь» и «дробное число». Для этого следует обратить внимание учащихся на то, что любое число л: из множества дробных неотрица­тельных. чисел может быть записано и виде дроби ,v " ", где т eZ₀, п eN. Од-

п

2

по и то же число можно записать разными дробями. Гак, например, дроби

²² являются записями одного и того жв чиолм.

9 И

12

8 24 7 23

Дроби -, — служат для записи целых чисел, дроби - или — служат для

8. 3 8 8

записи дробных чисел. Таким образом, дробь может служить записью не только

дробного, но и целого числа.

Усвоению различия между дробными числами и дробью способствует вы- 11 олнение упражнений, аналогичных следующим:

1. Сколько содержится в записи 0,40; ^; 0,4; 0; |; 0,33; |: а) различ­ных чисел; б) дробных чисел; в) целых чисел?

3. х

2. Какое значение принимает х, если дроби - и — изображают одно и то же число?

Следует заметить, что в учебнике иногда происходит смешение понятий «дробь» и «дробное число». Так, в младших классах дробь трактуется как чис­ло, составленное из нескольких долей единицы. Значит, понятие дроби включа­ет в себя понятие дробного числа. Затем «дробь» используется для названия чи­сел из множества Q₀ и для названия записи такого числа. Когда говорят о дей­ствиях с дробями, то имеют в виду числа из Q₀, когда же говорят о преобразо­вании дробей, то понимают записи чисел из go, так как нецелесообразно обра­щать одно число в другое. Поэтому с помощью специально подобранных во­просов необходимо приучать учащихся понимать из контекста, о чем идет речь: о числе или о его записи (символе).

Более четкого пояснения требует и понятие «десятичная дробь». При введении десятичных дробей основной акцент в учебнике (см., например, Ви­ленкин Н.Я. и др. Математика - 5, М., 2000) делается на то, что это дроби, ко­торые можно записать без знаменателя. Однако знаменатель у десятичной дро­би тоже записан, но по иному правилу.

Десятичные дроби изучаются рядом с натуральными числами. Это зако­номерно, так как действия с десятичными дробями во многом аналогичны дей­ствиям с натуральными числами, кроме тох'о, имеется возможность использова­ния метрической системы мер, что облегчает изучение десятичных дробей. При этом сначала учащиеся знакомятся с обыкновенными дробями, изучают сложе­ние и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями, сложение и вычитание смешанных чисел. Полученные знания помогают им в обосновании действий с десятичными дробями.

Изучение десятичных дробей в 5 классе осуществляется в такой последо­вательности: 1) десятичная запись дробных чисел; 2) сравнение десятичных дробей; 3) сложение и вычитание десятичных дробей; 4) приближенные значе­ния чисел, округление чисел; 5) умножение десятичных дробей на натураль­ные числа; 6) деление десятичных дробей на натуральные числа; 7) умно­жение десятичных дробей; 8) деление на десятичную дробь; 9) среднее арифме­тическое (см. Виленкин Н. Я. и др. Математика - 5, М., 2000).

Основное внимание при изучении десятичных дробей уделяется опера- пшпым умениям учащихся. В качестве примера рассмотрим методику изуче­нии сложения и вычитания десятичных дробей. Эти два действия в назван-

13