Лекция VI

ФОРМИРОВАНИЕ ПОНЯТИЯ ФУНКЦИИ It КУРСЕ АЛГЕБРЫ 7-9-х КЛАССОВ

1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики.

2. Различные трактовки понятия функции.

3. Методика введения понятия функции.

4. Методическая схема изучения функций в курсе алгебры основной школы.

5. Методика изучения линейной функции.

6. Интеграция аналитического и графического методов в изучении квадратичной функции.

1. Из истории введения понятия функциональной зависимости в школьный курс математики

Понятие функции - одно из фундаментальных математических понятий, непосредственно связанных с реальной действительностью. В нем ярко вопло­щены изменчивость и динамичность реального мира, взаимная обусловлен­ность реальных объектов и явлений. Именно в понятии функции в определен­ной степени отображается бесконечное многообразие явлений реального мира.

Термин «функция» впервые встречается в письме немецкого математика I В. Лейбница к голландскому математику X. Гюйгенсу в 1694 году. В обыч­ное употребление термин введен в начале XVIII в. Иоганном Бернулли.

На рубеже XIX и XX веков в России и за границей прогрессивные мате­матики и педагоги высказались за внедрение идеи функции в школьный курс математики. Русский педагог В. П. Шереметевский в статье «Математика как наука и её школьные суррогаты», опубликованной в журнале «Русская мысль» (№ 5, 1895) писал: «... Если вся математика есть, в сущности, учение о функци­ях, то ясно, и элементарный курс должен группироваться вокруг основного по­нятия о функциональной зависимости. Чем раньше оно будет вызвано и осто­рожно выращено в сознании учащихся, тем лучше».

На Западе за введение идеи функциональной зависимости в школьный курс

125

математики выступал известный немецкий педагог-математик Ф. Клейн (1849-1925), убежденный в ведущей роли этого понятия и в математике-науке и в обучении математике. Он считал понятие функции центральным понятием всей математи­ки: «Какое же понятие в современной математике доминирует? Это есть понятие о функции. Изучение функции составляет предмет, можно сказать, всей высшей математики; установление функциональной зависимости между различного рода факторами составляет задачу прикладной математики» [5, с. 13].

И ещё: «Понятие о функции должно играть основную, так сказать, руко­водящую роль в курсе средней школы. Понятие это должно быть выяснено учащимися очень рано и должно пронизать все преподавание алгебры и гео­метрии» [там же, с. 13].

Пожелания Ф. Клейна легли в основу Меранских программ, которые бы­ли приняты в 1905 году.

В России в 1911-1912 и 1913-1914 гг. были проведены I и II Всероссий­ские съезды преподавателей математики. Лейтмотивом большинства докладов на этих съездах прозвучала необходимость введения в школьный курс матема­тики идеи функциональной зависимости. Первый съезд в своей резолюции за­писал: «Съезд признает своевременным опустить из курса математики средней школы некоторые вопросы второстепенного значения, провести через курс и ярко осветить идею функциональной зависимости».

Профессор А. Я. Хинчин подчеркивал, что «понятие функциональной за­висимости должно стать не только одним из важнейших понятий школьного курса математики, но и тем основным стержнем, проходящим от элементарной арифметики до высших разделов алгебры, геометрии и тригонометрии, вокруг которого группируется всё математическое преподавание» [11, с. 23].

Отметив недопустимость недооценки других не менее важных понятий, представлений и методов, А. Я. Хинчин указывал далее, почему понятие функ­циональной зависимости должно быть явно выделено из всех других основных математических понятий, с которыми знакомит учащихся средняя школа:

во-первых, ни одно из других понятий не отражает явлений реальной дей­ствительности с такой непосредственностью и с такой конкретностью, как по­нятие функциональной зависимости, в котором воплощены и подвижность, ди­намичность реального мира, и взаимная обусловленность реальных величин;

во-втоуых, это понятие, как ни одно другое, воплощает в себе диалекти­ческие черты современного математического мышления; именно оно приучает мыслить величины в их живой изменчивости, а не в искусственной неподвиж­ности, в их взаимной связи и обусловленности, а не в искусственном отрыве их друг от друга;

в третьих_щ понятие функциональной зависимости есть основное понятие всей высшей математики и качество подготовки учащихся к усвоению курса математики в высшей школе в значительной степени измеряется тем, насколько твердо, полно и культурно они свыклись с этим важнейшим понятием.

В ходе всех этих обсуждений возник вопрос, какое из исторически сло­жившихся определений понятия функции должно быть положено в основу изу-

126