3. На каждом из данных промежутков решим наше уравнение.

2. _ч

А) На промежутке (-<»;--) уравнение запишется в виде:

-Зх- 2 - 1,

откуда х = -1 (входит в данный промежуток, значит, является корнем).

2

Б) На промежутке (- -; +оо) уравнение примет вид:

Зх + 2 — 1,

откуда х = -- (входит в данный промежуток, значит, является корнем).

4. Записываем ответ.

¹

О т в е т: xi = -1,Х2 =

Il Графический метод

1. Построим в одной системе ко- ординат графики функций у\ = I Зх + 2 | яу₂= I (Р^и^- 23).

2. Найдем абсциссы точек пересечения графиков А и В. Можно найти их по рисунку, но это будут приближенные значения, а можно найти их, решив уравнения:

-Зх-2 = 1 иЗх + 2= 1.

Первое уравнение составляем, ис- ходя из того, что точка А лежит на от- рицательной части графика, отобра- женной симметрично относительно оси

ОХ, а второе уравнение, исходя из того, что точка В лежит на положительной

ветви графика функции^.

Решая эти уравнения, находим точные значения абсцисс точек пересе­

чения: xi = -1, х₂ =

Ответ:х1 = -1,Х2^:

В данном случае графический метод предполагает и аналитические действия (решение уравнений). Приведем ещё примеры.

Пример 20. Решить уравнение 2|x-l|-|x-3l-2 = 0.

Решение./. Алгебраический метод

1. Приравняем к нулю выражения, стоящие под знаком модуля, и ре­шим полученные уравнения:

х - 1 = 0, откуда х=1их-3=0, откуда х = 3.

2. Разобьем всю числовую ось на промежутки точками х = 1 и х = 3. Получим три промежутка: (-сю; 1), [1; 3), [3; +оо). На каждом промежутке ре­шим наше уравнение.

А) На промежутке (-°о; 1) уравнение запишется в виде:

-2х + 2 + х~3-2 = 0 или -х - 3 = 0,

95

откуда x = -3 (входит в данный промежуток, значит, является корнем).

Б) На промежутке [1; 3) уравнение примет вид:

2х-2+х-3-2 = 0 или Зх ~ 7 = О,

7

откуда ^х'~ - (входит в данный промежуток, значит, является корнем).

В) На промежутке [3; +оо) уравнение примет вид:

2х-2-х + 3- 2 = 0 или х - 1 - О, откуда х *= 1 (не входит в данный промежуток, значит, не является корнем).

1

О т в е т: jti = -3, х₂ = —.

Il Графический метод

1. Преобразуем уравнение к виду:

21 х - l| = | х - 3 I + 2.

2. Построим в одной системе координат графики функций^ = 21 х - l| и у₂ ~ I х - 3 | - 2 (рис. 24). Графики удобно строить по трём точкам: первая точка такая, при которой значение модуля равно нулю, она же является вершиной данного графика. Вторая точка берется левее этого значения, а третья - правее этого значения. В нашем случае таблица значений функций выглядит так:

х jki — 21х- l| х j₂ = I х - 3 I + 2.

1. 0-вершина 3 2-вершина

0. 2 0 5

2. 2 5 4

3. Абсциссы точек пересечения графиков являются корнями данного уравнения. Их можно “считать” с рисунка, а можно найти, решив уравнения:

откуда х = -3;

1. -2* + 2 —х + 3 +2,

2. 2х - 2 = -х + 3 + 2,

Отв ет:xi = -3,х₂ =

откуда х = -.

Рис. 24

При составлении пер- вого уравнения учитываем то, что пересекаются отрица- тельные ветви графиков, отображенные симметрично относительно оси ОХ (вто- рой график к тому же поднят на три единицы вверх). В со- ответствии с этим раскрыва- ем модули. Аналогично, при составлении второго уравне- ния учитываем то, что пере- секаются положительная ветвь графика у\ с отрица- тельной ветвью графика функции у₂.