мг.пнестиыми
и способы её решения: способ подстановки,
способ сложения, ! рпфический способ.
Рассматриваются уравнения вида f
(х)
• g
(х)
= 0.
И
7 ioiacce
заканчивается
изучение линейной функции, линейных
уравнении с од и им неизвестным и
систем линейных уравнений с двумя
неизвестными.
Н
класс
-
уравнения с неизвестным в знаменателе;
квадратные уравнения, уравнения с
параметрами.
()
класс
-
понятие алгебраического уравнения
степени п\
решение ал- мираичсских уравнений;
уравнения, сводящиеся к алгебраическим;
системы иг .ишейных уравнений с двумя
неизвестными и способы их решения;
иррациональные уравнения, простейшие
тригонометрические уравнения.
Мы
рассмотрим вопросы методики изучения
наиболее важных классов рм мнений,
неравенств и их систем. Эти классы можно
разбить на две
группы.
/
группа
- рациональные
уравнения, неравенства и системы.
Наиболее нн/иными классами здесь
являются линейные уравнения с одним
неизвестным,
квадратные
уравнения, соответствующие классы
неравенств, системы двух линейных
уравнений с двумя неизвестными.
//
группа
- иррациональные
и трансцендентные уравнения, неравенст-
гщ и системы.
В состав этой группы входят иррациональные,
показательные, uni
прифмические
и тригонометрические уравнения и
неравенства.
Первая
группа изучается в курсе основной
школы, там формируются даже нм
мы ки
решения названных уравнений, неравенств
и систем. Вторая группа в ним
курсе
только начинает изучаться, причем
рассматриваются не все классы, м
окончательное изучение происходит в
курсе алгебры и начал анализа.
Последовательность
изучения различных классов уравнений,
нера- ih'Hctu
и
систем различна в разных учебниках.
Можно выделить два основные. I |ути
развертывания содержания линии уравнений
и неравенств:
Сначала
изучается материал, относящийся к
уравнениям и их систе- ммм, затем к
неравенствам. Раздельное изложение
проводится до теории ишдратного
трехчлена включительно. Дальше, в
старших классах, логарифмические,
показательные, тригонометрические
уравнения и соответствующие*
неравенства изучаются в более тесной
связи друг с другом.
Имеются
и промежуточные пути, когда некоторые
классы уравнений и иг равенств сближены
друг с другом по времени изучения, а
другие, наобо- рш , не связаны. Различные
подходы требуют и своей методики,
различных приемов изучения материала.
Мы будем придерживаться первого пути.
2.
Методика изучения линейных уравнений
с одним неизвестным
Линейные
уравнения с одним неизвестным - это
первый класс уравнений п
курсе алгебры, поэтому от характера
его изучения в значительной мере 1ММИСЯТ
особенности
организации всего последующего изучения
линии урав-
61
Основные классы неравенств изучаются сразу вслед за изучением со- »»I мотствующих классов уравнений.
нений
и неравенств. При изучении этого класса
уравнений формируется оСь щее понятие
об уравнении, вводится соответствующая
терминология.
Первая
методическая задача, с которой
сталкивается учитель, приступая к
изложению этой темы, состоит в выделении
формальной части понятии уравнений из
той ситуации, в которой оно возникает.
В качестве такой ситуации обычно
выступает несложная текстовая задача,
решение которой ал* гебраическим методом
приводит к уравнению первой степени с
одним неизвестным. Здесь следует
обратить внимание учащихся на основной
метод, примененный в решении задачи, -
переход к её алгебраической модели,
общий вид которой / (х)~
g
(х)>
где/и g
-
некоторые выражения, содержащие
неизвестное х.
Проследим,
как реализуется этот этап на практике,
например, по учебнику Макарычева Ю.
Н. и др. «Алгебра 7» (М., 2002). Сначала
решается задача: «На нижней полке в
4 раза больше книг, чем на верхней. Если
с нижней полки переставить на верхнюю
15 книг, то книг на полках станет поровну.
Сколько книг на верхней поже?
Обозначим
буквой х
число книг на верхней полке. Тогда число
книг на нижней полке равно 4х.
На нижней полке останется: Ах
-
15 книг, а на верхней будет х + 15 книг.
По условию задачи после такой перестановки
книг на полках окажется поровну. Значит,
4х-
15 - х+ 15».
Далее
учитель говорит: «Чтобы найти неизвестное
число книг, мы составили равенство,
содержащее переменную.
Такие равенства называют уравнениями
с одной переменной или уравнениями с
одним неизвестным. Нам надо найти число,
при подстановке которого вместо х в
уравнение 4х - 15 = х + 15 получается верное
равенство. Такое число называют решением
уравнения или корнем уравнения». Затем
формулируется определение.
Опр.
L
Корнем
уравнения называется значение переменной,
при котором уравнение обращается в
верное равенство.
Учащиеся
убеждаются, что уравнение 4х-15=х+15
имеет один корень - число 10. Затем
выясняется, что можно привести примеры
уравнений, которые имеют два, три и
более корней или не имеют корней.
Так,
уравнение (х - 4)(х - 5)(х - 6) = 0 имеет три
корня х\
= 4, Х2
= 5, хз = 6.
Уравнение
х + 2 = хне имеет корней, так как при любом
значении х левая часть уравнения на 2
больше его правой части. В результате
делается вывод: «Решить уравнение -
значит найти все его корни или доказать,
что корней нет».
Замечание.
В различных учебниках применяется
разная терминология, относящаяся к
одному и тому же классу уравнений.
Поэтому надо быть внимательным и
употреблять только те термины, которые
введены в учебнике, причем именно в том
смысле, который им придается.
Рассмотрим
теперь несколько подходов к выделению
первого изучаемого в курсе алгебры
класса уравнений.
В
учебнике Ю. Н. Макарычева и др. «Алгебра
7» (М., 2002) - это линейные
уравнения с одной переменной,
то есть уравнения вида ах-Ъ,
где х - переменная, аиЬ
- числа. Это определение выделяет очень
узкий класс
62