вводятся понятия соседних и противолежащих вершин, диагоналей четырех­угольника, соседних и противолежащих сторон.

Возможен и другой подход к введению четырехугольника: учитель с по­мощью мультимедиапроектора показывает учащимся изображения различных фигур: треугольников, четырехугольников, пятиугольников и т. д., и просит их выделить фигуры, образованные по одному и тому же признаку. В процессе анализа фигур учащиеся постепенно выделяют сами содержание понятия четы­рехугольника.

Конкретные подходы могут быть разными, но важно, чтобы учащиеся сами принимали активное участие в анализе содержания изучаемого понятия.

/— В учебнике JI С. Атанасяна и др. четырехугольник вводится как частный

1. случай многоугольника. Такой подход по сравнению с подходом в учебниках А. В. Погорелова, А. Д. Александрова и др. является менее удачным, так как общее понятие многоугольника используется только в конце 9 класса, исполь­зовать же это понятие для введения четырехугольника нецелесообразно, так как понятие четырехугольника проще понятия многоугольника. Д

С б) Методика изучения параллелограмма. В разных учебниках геомет­рии можно увидеть разные определения параллелограмма. С точки зрения пси­хологии, как уже подчеркивалось нами в предыдущих лекциях, наиболее удач­ным является определение параллелограмма как четырехугольника, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Такое определение позволяет быстро представить себе образ определяемого объекта.

Перед введением понятия можно выполнить упражнение на построение четырехугольника, у которого противоположные стороны попарно параллель­ны. Затем рассмотреть упражнения на распознавание объектов, принадлежащих понятию «параллелограмм». Среди предлагаемых объектов должны быть четы­рехугольники, у которых одна пара, ни одной пары, две пары противополож­ных параллельных сторон, в том числе - прямоугольник, ромб, квадрат.

Целесообразны упражнения на построение четырехугольников и доказа­тельство принадлежности их к параллелограмму. Приведем пример.

Начертите четырехугольник ABCD так, чтобы ZA = 60°, ZB = 120°, ZC = 60° и выясните, является ли он параллелограммом.

Подобные упражнения имеются в учебнике JI. С. Атанасяна и др.

В учебной литературе используются различные последовательности из­ложения свойств и признаков параллелограмма. В учебнике JI. С. Атанасяна и др. излагаются свойства параллелограмма, а затем их признаки, г Свойства параллелограмма:

1. В параллелограмме противоположные стороны равны и противопо­ложные углы равны.

2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Признаки параллелограмма:

1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны,

208

та тот четырехугольник - параллелограмм.

3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересече­нии делятся пополам, то этот четырехугольник параллелограмм.

13 других учебниках излагаются сначала признаки, а затем свойства па- ришелограмма (А. В. Погорелов).

Свойства параллелограмма могут быть сформулированы самими учащи­мися и процессе выполнения упражнений. Например, свойство сторон паралле­лограмма может быть выделено в результате выполнения упражнения:

1. A BCD - параллелограмм. Доказать, что ААВС = ACDA.

Это упражнение моделирует и доказательство этого свойства.

11еред изучением свойств углов параллелограмма можно выполнить уп- рп/кнспие:

2. В параллелограмме ABCD ZA — 60°. Вычислить все его углы.

Выполнение этого упражнения основывается на определении параллело-

11 him ми и свойстве параллельных прямых.

Решив задачу, учащиеся замечают, что противоположные углы паралле­ли римма равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограм- ми. раина 180°.

' )то упражнение дает другой, отличный от представленных в учебниках, нюеоб доказательства теоремы о свойстве углов параллелограмма. В учебниках лики иггсльство основано на признаках равенства треугольников. Оно может Аыи. таким: /.А + ZB = 180°, ZC + ZB = 180° (по свойству внутренних одно- ииронних углов), следовательно, ZA = Z С.

' Гели в учебнике изложение теории начинается со свойств параллело- ipiiMMn, то признаки будут выступать как теоремы, обратные изученным теоре­мам Гели изложение начинается с признака, то естественна постановка про- Алрмы; отыскать четырехугольник, являющийся параллелограммом.

( ледуст подчеркнуть практическую значимость изучения признаков па- |1йиfirjuh рамма. Они позволяют активнее решать различные задачи, владеть артериями распознавания параллелограммов. Каждый из признаков может тужи п. определением параллелограмма. Тогда определение параллелограмма мили Аудст доказывать как теорему.

М ходе изучения параллелограмма рассматриваются его частные виды: щшит.ч>и»ник, ромб, квадрат. Ознакомление учащихся с ними можно осуще-

11. им 11. через упражнения на их построение. Например, можно выполнить уп­ражнение па построение параллелограмма, у которого углы прямые. Далее формулируется определение прямоугольника и выявляется его специфическое

mo Ошмонали прямоугольника равны. Верно и обратное утверждение: ес- tUhh'omnu параллелограммаравны, то он - прямоугольник. Поэтому прямо- ННЛММ1К можно определить и так: это - параллелограмм, у которого диагона­ли fHWHN In таким определением было бы очень трудно видеть объекты, относя­щие и н прямоугольнику, но познакомить учащихся с этим признаком полезно.

Дни логично, при изучении ромба следует рассмотреть его признаки:

I /» m диагонали параллелограмма перпендикулярны, то он является

1*1 М*П»М|

209

2. Если у параллелограмма диагонали являются биссектрисами его углов, то он-ромб.

Определения прямоугольника, ромба, квадрата, содержащиеся в учебни­ке, являются обычно избыточными, то есть содержат лишние свойства. Напри­мер, прямоугольник определяется как параллелограмм, у которого все углы прямые. Такое определение избыточное: можно указать только один прямой угол. Тогда, используя свойство параллелограмма, легко доказать, что и другие три угла также будут прямыми. Однако в целях простоты создания наглядного адекватного образа параллелограмма используется указанное избыточное определение. Ито­гом изучения может быть классификация параллелограммов (таблица 13).

Таблица 13

в) Методика изучения трапеции и её свойств. При изучении паралле- лограмма можно обратить внимание учащихся на четырехугольник, у которого только две противоположные стороны параллельны. Такой четырехугольник называется трапецией. При изучении свойств трапеции центральное место за- нимает теорема о средней линии. Однако в учебнике нет ни одного упражнения

на усвоение понятия средней линии трапеции. Подвести учащихся к теореме можно, предложив упражнение:

Доказать, что средняя линия треугольника АВЕ является средней линией трапеции ABCD (рис. 75).

Это упражнение позволяет учащимся «от- крыть» теорему о средней линии трапеции и способ

её доказательства. Учащиеся могут предложить и другие способы доказательства теоремы, например, разбить трапецию её диагональю на два треугольника и затем доказать, что отрезки, заключенные между диагональю и боковыми сторонами трапеции, являются средними линиями образуемых треугольников и т.д.

При изучении четырехугольников есть возможность осуществлять инте­грацию алгебраического и геометрического методов и формировать при этом целостные знания учащихся о параллелограмме, трапеции и других частных видах четырехугольников. Проиллюстрируем этот подход на примере форми­рования понятия трапеции, выделив его основные этапы.

210

1. этап {мотивация введения понятия трапеции) реализуется традицион­но, ио ггому мы не будем останавливаться на нем подробно.

2. этап. Ознакомление с существенными свойствами трапеции на геомет­рическом языке может осуществляться так: заранее готовится рисунок с изо- Прижпшем разных многоугольников, в том числе и трапеции. Он может быть мы полнен на доске или спроецирован на экран с помощью мультимедийного проектора. Перед учащимися ставится вопрос, какие из фигур, изображенных ми рисунке, имеют общие свойства? Учащиеся замечают, что в некоторых че- I ырехугольниках две противоположные стороны параллельны, а две другие ип Читем им сообщается, что такой четырехугольник называется трапецией. 1/|«ч ь же можно сказать, что описанный четырехугольник вместе с его внут­ренней областью также называют трапецией.

Рис. 76

Mm иг нм деления существенных свойств трапеции учащиеся под руково­ди ним учи Iели, используя конкретные примеры, переводят эти свойства на ал- »кий язык и задают трапецию системой неравенств:

у > ах + Ь, у <ах + с,

4 ще,афс_иафс2₉Ь₂> b_udi> d₂.

y<c,x + d„

y>c₂x + d₂\

211