Графический метод

у = д/х ->/ - л/хП —>У1= 4д/х + 1,

а функции^ “ по цепочке: у- (2х- 1) —» у' = I 2х-1| —» У2 - I 2х-1| +3.

2. Из рисунка найдем абсциссы точек пересечения графиков функций: х\ = 0,х₂- 3.

О т в е т: х\ = 0, х₂ = 3.

Сами корни уравнения при графическом методе можно находить иногда аналитически, определив по рисунку проме­жутки, в которых они находятся. Это позволит получить более точный ре­зультат в случае, если корни являются дробными числами.

Решая уравнения, содержащие степень, можно решать и соответст­вующие им неравенства. Приведем пример.

Пример13. Решить уравнение х

и соответствующие ему нера-

2. 3^5

• их < .

венствах >-

X X

Решение./. Алгебраический метод

1. Найдем ОДЗ: х Ф 0.

2. Умножив обе части уравнения на х, получим: х⁴

ние не имеет корней, т.к. х⁴

> 0 при любом X.

^: -5. Данное уравне-

Решим неравенство х > —. Преобразуя данное неравенство, получим: х

х + - > 0 или

X

х + 5

> 0, откуда х > 0.

Аналогично, решая неравенство х < —, получим х < 0.

х

2. Графический метод

Построим в одной системе координат графики функций уi = х³ и у₂ ⁼ ~-

X

(рис. 16). Из рисунка видно, что графики функций не имеют точек пересече­

ния, значит, уравнение х'

неравенства.

.з _

• не имеет корней. Решаем соответствующие

х

87

5

-t—I i'-+

График функции y\ = x³ располо­жен выше графика функции у₂ = --

х

1 5

при х > О, значит, неравенство х > —

х

выполняется при х > 0. Аналогично, по рисунку видим, что график функции

-5

у\ - х³ расположен ниже графика функ­ции^ “ при х < 0.

Рис. 16

Таким образом, графический метод подтверждает отсутствие корней у дан­

ного уравнения и наглядно показывает решения соответствующих нера­венств. Учащиеся, сопоставляя оба метода решения, приходят к выводу:

L Если уравнение, содержащее степень, не имеет корней, то гео­метрически это означает, что графики функций, стоящих в левой и пра­вой частях уравнения, не имеют общих точек, т.е. не пересекаются и не совпадают. Верно и обратное: если графики функций, стоящих в левой и правой частях уравнения, содержащего степень, не имеют общих точек, то данное уравнение не имеет корней.

Среди уравнений, содержащих степень, часто встречаются такие, в ко­торых переменная содержится под знаком радикала, то есть входит в подко­ренное выражение. Такие уравнения называются иррациональными. Одно из таких уравнений мы уже рассмотрели в примере 12. Так как интеграция ал­гебраического и графического методов при решении иррациональных урав­нений и неравенств имеет особое значение, то рассмотрим этот вид уравне­ний и неравенств подробнее.

Мотивацию введения понятия иррационального уравнения можно про­вести путем решения задачи.

Задача. В треугольнике ABC (рис. 51) BD перпендикулярно AC, AD = 2 см, DC = 5 см, АВ + ВС = 9 см. Найти BD.

• такое уравнение называется иррациональным, затем формулируется определение самими учащимися или учителем.

Определение♦ Уравнение, в котором переменная входит в какое-либо выражение, стоящее под знаком корня, называется иррациональным.

Мы не будем подробно останавливаться на алгебраических методах

В

Решение.

Пусть длина отрезка BD равна х см.

Тогда АВ = л]х²+4 и ВС = /х² + 25 .

По условию задачи

А 2 D

5

С

Рис. 17

Учащиеся видят, что получилось уравнение, в котором, переменная входит в подкоренное выражение. Вводится термин

1. Сравним полученные результаты с ОДЗ. Как видим, х₂ < 0, поэтому он является посторонним корнем.

Б) Решим неравенство д/l - х > х.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем рацио­нальных неравенств:

1 - х > О, х > О,

откуда 0 < х < 1.

2. Возведем обе части уравнения в квадрат:

1. - х = х².

3. Решим полученное уравнение:

2 , 1 л ”1 + J~5

х + х - 1 = 0, откуда Xi = —, х₂ =

2

89