можно символически записать сле-

² +21_а\1_ь + Иь².

Для изучения этой темы учащиеся должны

вспомнить умножение одночленов, умножение много- членов, умножение степеней с одинаковыми основа- ниями, возведение степени в степень, умножение ра- циональных чисел и т.д. - то есть учителю необходимо

подготовить вспомогательную систему упражнений.

Затем следует основная система упражнений по выработке умений возводить в квадрат двучлены.

5.

7.

а + Ь

Рис. 4

(2а ± Ъ)\

(3 а ± Щ²\

(1а±26)²;

(-а± -Ь)²; 4 3

(i±0,2 b)².

1. (а±ЬУ;

2. (а ± х)²',

3. (х±у)²;

4. (т ± «)²;

Упражнения 1-4 направлены на запоминание формул «в чистом виде»

В упражнениях 5 — 9 коэффициенты меняются от целых чисел до обыкновенных и десятичных дробей, но степень

Буквенной части слагаемых пока остается первой.

10. (а²±ЬУ'

11. (а³ ± Ь⁴)².

12. (а" ± Ь²)²;

13. (а^п±Ь^2п)².

14. {2а²Ь±ЪЛ²)²

10. (~2a²b + аЪ)²;

11. (-а²Ь - 2аЪ²)².

В упражнениях 10-11 рассматриваются случаи, в которых степени слагаемых выше первой.

В примерах 12 -13 степени с буквенными показателями.

Это упражнение - общий случай, в котором слагаемые одночлены, содержащие произведение степеней.

В примерах 15—16 отрицательные коэффициенты у слагаемых.

34

I la этом основная система упражнений заканчивается. Такая система долж­на обеспечить усвоение базисного материала.

Следующие упражнения (17—19) позволяют акцентировать внимание уча­щихся на типичных ошибках и способствуют развитию интереса и их творческих 1 пособиостей.

17. Проверь равенства:

( ' ^х+У)²⁼\х² +/-,

('2 ^Х+У)² = + ²ху +у².

I К, Заполни точки соответствующими выражениями:

(,.. + ...)^!= ix’ + ...+у';

ia² + ab + ....

4

19. Сколько примеров можно составить (... + ...)² = ... + ху + ... . Запиши некоторые из них.

В каждом конкретном случае число упражнений в системе может быть меньше или больше, но последовательность их выполнения должна быть такой же.

Для описания различных систем заданий в методике математики исполь- lyri oi ещё понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуется тем, по соединяются в последовательность упражнения нескольких аспектов изу­чении и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле можно дать следующим образом.

11икл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В ' остан цикла наряду с исполнительными входят задания, требующиераспозна- <ii in ни применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях.

Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся зада­ния, ш.шолняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они выпол­няются на нескольких уроках, объединенных одной темой. Вторая группа уп­ражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Уп­ражнения из этой группы обычно разбросаны по различным темам.

Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе - (Тане синтеза, циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы шдапий, образующие «развернутый» цикл, причем из первой группы исклю­чаются наиболее простые по формулировкам или по сложности выполнения за­пиши. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слия­ние циклов, относящихся к различным тождествам, в силу этого повышается роль действий по распознаванию применимости того или иного тождества.

11рннсдем конкретный пример цикла.

Пример. Цикл заданий для тождества х -у² = (х-у)( х +у).

Выполнение первой группы заданий этого цикла происходит в следую-

35

щих условиях. Ученики только что ознакомились с формулировкой тождества (вернее, с двумя формулировками: «Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы и разности данных выражений» и «Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений»), его записью в виде формулы, доказательством. После этого приведено несколько образцов использования преобразования, основанного на этом тождестве. На­конец, ученики приступают к самостоятельному выполнению упражнений.

Первая группа заданий

а) Представить в виде произведения: _а1) а² - Ъ²; а₂) с² - 5²; а₃) 121 —А².

б) Проверить верность равенства (100 + 1)(100 - 1) = 10000 - 1.

в) Раскрыть скобки в выражении (4ху + 5х²)( 4ху - 5х²).

г) Вычислить: Г])49-51; г₂) 25²-24²; г₃) (10⁴ - 1)(10⁴ + 1).

д) Разложить на множители:

д_х)к²-р²\ д₂) I6(abf-9c²; дз)х⁴-/.

е) Упростить выражение (а + bf -{a- bf.

Вторая группа заданий

ж) Используя тождество а = (4а f при а > 0, разложить на множители многочлен х - 5.

з) Исключить иррациональность в знаменателе дроби -.

и) Доказать, что если к- нечетное число, то к² - 1 делится на 4.

х² + 2 Ixl + 1

к) Функция задана аналитическим выражением f(x) = ^—j—. Избавиться

от знака модуля, рассмотрев два случая: х > 0 и х < 0.

л) Решить уравнение х³ - 4х = 15.

(Задания каждой группы можно представить студентам с помощью муль­тимедийного проектора)

Проведем методический анализ этой системы типов заданий.

Задание а0 имеет целью фиксировать структуру изучаемого тождества. Это достигается заменой букв (х и у) в записи тождества другими буквами. За­дания этого типа позволяют уточнить связь между словесным выражением и символической формой тождества.

Задание а₂) ориентировано на установление связи данного тождества с числовой системой. Преобразуемое выражение является здесь не чисто буквен­ным, а буквенно-числовым. Для описания производимых действий необходимо использовать понятие замещения буквы числом в тождестве. Развитие навыков

36

применения операции замещения и углубление представления о ней осуществ- ш I гм при выполнении заданий типа г₂).

Следующий шаг в освоении тождества иллюстрируется заданием аз). В ном задании предложенное для преобразования выражение не имеет вида раз- пип н квадратов; преобразование становится возможным лишь тогда, когда . ч(чп1к заметит, что число 121 можно представить в виде квадрата числа. Таким иПриюм, выполнение этого задания производится не в один шаг, а в два: на пер- iiiiu происходит распознавание возможности приведения данного выражения к мпду разности квадратов, на втором производится преобразование, исполь­зующее тождество.

11а первых порах освоения тождества производится запись каждого шага:

I ' I /с² = 11² — &² = (11 - £)(11 + к), в дальнейшем некоторые операции по рас­познаванию выполняются учениками устно.

В примере дг) требуется установить связи данного тождества и других, от­носящихся к действиям с одночленами; в д₃) следует применить тождество для разности квадратов дважды; в ж) ученикам придется преодолеть определенный психологический барьер, осуществляя выход в область иррациональных чисел.

Задания типа б) направлены на формирование навыков замены произведе­нии (,v - у)(х + у) на разность х² - у². Аналогичную роль играют задания типа в). В примерах типа г) требуется выбрать одно из направлений преобразований.

В целом задания первой группы ориентированы на усвоение структуры шждества, операции замещения в простейших наиболее важных случаях и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством,

Основные особенности и цели, раскрытые нами при рассмотрении первой | руины заданий цикла, относятся к любому циклу упражнений, формирующему штыки использования тождества. Для любого вновь вводимого тождества пер- иим группа заданий в цикле должна сохранять описанные здесь особенности; различия могут быть только в количестве заданий.

1 Вторая группа заданий в цикле, в отличие от первой, направлена на воз­можно более полное использование и учет специфики именно данного тожде- t i пи. Задания этой группы предполагают уже сформированными навыки ис­пользования тождества для разности квадратов (в наиболее простых случаях); цпи, заданий этой группы - углубить понимание тождества за счет рассмотре­нии разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с ис­пользованием материала, относящегося к другим темам курса математики.

Рассмотрим решение задания л):

х³- 4х= 15 о х³ — 9х = 15 - 5х о х(х~3)(х + 3) = 5(3 -х) ох = 3, или \{\ 1-3) = -5. Уравнение х(х + 3) = -5 действительных корней не имеет, поэтому \ 3 - единственный корень уравнения.

Мы видим, что использование тождества для разности квадратов составляет ч п и I ь часть в решении примера, являясь ведущей идеей проведения преобразований.

Циклы заданий, связанных с тождествами для элементарных функций, имеют свои особенности, которые обусловлены тем, что, во-пеувых. соответст- иутощие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, /и>-«тоуых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с

37

использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований. Значительная часть использования тождественных преобразо­ваний, связанных с элементарными функциями, приходится на решение ирра­циональных и трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесооб­разно проводить работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведе­ние его путем замены неизвестного к алгебраическому уравнению.

Последовательность шагов при этом способе решения такова:

а) найти функцию <р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

б) произвести подстановку у = ср(х) и решить уравнение F(y) = 0;

в) решить каждое из уравнений <р(х) = где {у_к} - множество корней уравнения F(y) = 0.

Новым вопросом, который необходимо учитывать при изучении тождеств с элементарными функциями, является рассмотрение области определения. Приведем примеры трех заданий:

а) Построить график функции у = 4^log₂^x.

б) Решить уравнение lg х + lg (х - 3) = 1.

в) На каком множестве формула lg (х - 5) + lg (х + 5) = lg (х² - 25) являет­ся тождеством?

Типичная ошибка, которую совершают ученики в решении задания а) со­стоит в использовании равенства а ^1ое_й без учета условия Ъ > 0. В данном слу­чае в итоге искомый график оказывается имеющим вид параболы вместо вер­ного ответа - правой ветви параболы. В задании б) показан один из источников получения сложных систем уравнений и неравенств, когда необходимо учиты­вать области определения функций, а в задании в) - упражнение, которое мо­жет служить подготовительным.

Идея, которой объединены эти задания - необходимость изучения облас­ти определения функции, может выявиться только при сопоставлении таких, разнородных по внешней форме заданий. Значение этой идеи для математики очень велико. Она может служить основой нескольких циклов упражнений - по каждому из классов элементарных функций.

В заключение заметим, что изучение тождественных преобразований в школе имеет большое воспитательное значение. Умение делать какие-то вы­кладки, проводить расчеты, в течение длительного времени с неослабным вни­манием следить за некоторым объектом необходимо людям самых разнообраз­ных профессий, независимо от того, работают ли они в сфере умственного или физического труда. Специфика раздела «Тождественные преобразования выра­жений» такова, что он открывает широкие возможности для выработки у уча­щихся этих важных профессионально-значимых умений.

Составление плана выполнения преобразования, определение последова­тельности отдельных действий, поиск рациональных путей способствуют вос­питанию алгоритмической культуры учащихся. При выполнении заданий комбинированного характера ученик должен воедино собрать известные ему правила тождественных преобразований и суметь, следуя этим правилам, шаг

38

• i нин ом сделать все выкладки, не допуская никаких ошибок. Такая работа спо- I пт myiri иоспитанию настойчивости, аккуратности, внимательности, выработ- | • приш.писи к самоконтролю.

Вопросы и задания

1. I Газовите основные типы преобразований, которые изучаются в школь- 1М1Ы курсе математики. Каковы этапы их изучения?

Охарактеризуйте особенности тождественных преобразований: и I и '■> 6 классах; б) в 7 классе; в) в 8 классе; г) в 9 классе; д) в 10 - 11 классах.

<. Чем отличаются тождественные преобразования от равносильных пре- | >< i| >и шштий?

■I Раскройте смысл понятий «тождество», «тождественно равные выра-

• 1 нии». 11риведите примеры.

V Опишите мотивационный этап введения понятия тождественного пре-

• ■« >| hi ншания. В каком классе вводится это понятие у разных авторов?

(). Какие два класса тождеств изучаются в школьном курсе алгебры и ал-

• ■¹ >|>ниноском материале курса алгебры и начал анализа?

V. Чем отличаются «аналитические» преобразования в курсе алгебры и пинии анализа от «алгебраических» преобразований?

К. Назовите принципы организации системы упражнений при изучении мнищчтвенных преобразований.

Раскройте смысл понятия «цикл упражнений».

10. Проанализируйте системы упражнений для усвоения формул сокра- ни иного умножения в учебниках алгебры для 7 класса разных авторов. Какие принципы организации системы упражнений при этом не соблюдаются? Со-

• | iHH. ro свою систему упражнений для усвоения и применения формулы разно- | Iи (суммы) кубов.

2. Какие виды преобразований включают в себя тождественные преоб- 1»1 нишния, изучаемые в школьном курсе математики?

Рекомендуемая литература

I А и т о н о м о в а, Т. В. Практикум по методике преподавания математики в средней шко- II'! Унеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Т.В. Автономова, С.Б. Вер- 'имко, В.А. Гусев и др.; Под ред. В.И. Мишина. - М.: Просвещение, 1993.

' Ашсбра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / ША. Атимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.

I 'ндоров и др. - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2002.

¹ \ hi ебра: Учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.

( ндоров и др. - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2003.

I А мгсбра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В.

I ’ндоров и др. - 10-е изд. - М.: Просвещение, 2004.

' Лигобра: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреяедений / Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, К). И, Сидоров и др. - 9-е изд. - М.: Просвещение, 2001.

(| Алгебра: Учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и др.; Под ред. С.А. Теляковского. -М.: Просвещение, 2002.

39

7. Алгебра: Учеб. для 8 кл. обкцеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и

др.; Под ред. С.А; Теляковского. - М.: Просвещение, 2002.

7. Алгебра: Учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк и

др.; Под ред. С.А. Теляковского. - М.: Просвещение, 2002.

7. Башмаков, М. И. Алгебра: Учеб. для 7 кл общеобразоват учреждений / М. И. Башмаков. - М.: Просвещение, 2003. - 320 с.

8. Башмаков, М. И. Алгебра: Учеб. для 8 кл общеобразоват учреждений / М. И. Башмаков. - М.: Просвещение, 2004. - 287 с.

9. Башмаков, М. И. Алгебра: Учеб. для 9 кл общеобразоват учреждений / М. И. Башмаков. - М.: Просвещение, 2005. - 304 с.

10. К о л я г и н, Ю. М. Методика преподавания математики в средней школе. Частные мето­дики. Учеб. пособие для студентов физ.-мат. фак. пед. ин-тов / Ю.М. Колягин, Г.Л. Луканкин, В.Л. Мокрушин и др.. - М.: Просвещение, 1977.

11. Макарычев, Ю.Н.О преподавании темы «Тригонометрические выражения и их преоб­разования» в курсе алгебры VIII класса / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, С.Б. Суворова// Математика в школе. -1986. - № 1. - С. 23 - 32.

12. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. -М.: Дрофа, 2005. -416 с.

13. М и н д ю к, Н. Г. Основные этапы формирования навыков тождественных преобразований / Н.Г. Миндюк // Математика в школе. -1985. - № 5. - С. 17-21.

14. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. посо­бие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. /А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987,

15. Мордкович, А.Г. Алгебра 7 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.

• 3-е изд., доработ. - М.: Мнемозина, 2000.

7. Мордкович, А.Г. Алгебра 8 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2000.

8. Мордкович, А.Г. Алгебра 9 кл.: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович.

• 2-е изд. - М.: Мнемозина, 2000.

7. Мордкович, А.Г. Алгебра и начала анализа. 10 -11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для об­щеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. - 3-е изд., испр.. - М.: Мнемозина, 2002.

8. Программы общеобразовательных учреждений: Математика. - М.: Просвещение, 1998.

9. С а р а н ц е в, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. - М.: Просве­щение, 1995.

40