Для утверждения того, что А А_ХВ_ХС_Х совпал с Л А_ХВ₂ С₂ надо убедиться в совпадении вершин В_х и В₂, С_х и С₂.

4. Из каких утверждений следует совпадение вершин В_х и В₂, С\ и С₂?

Ответ на этот вопрос дают свойства откладывания отрезка, откладывания угла и условие теоремы. По мере поиска доказательства осуществляется и фор­мирование рисунка. После нахождения способа доказательства теоремы (при­знака равенства треугольников) следует еще раз остановиться на узловых мо­ментах доказательства (введение нового треугольника, равного данному, сов­падение «нового» треугольника с одним из данных, равенство данных тре­угольников) и оформить его. Запись доказательства должна содержать все узло­вые моменты, по которым можно было бы воспроизвести доказательство.

В качестве примера приведем запись доказательства первого признака равенства треугольников по учебнику А. В. Погорелова.

Дано: AABC, &А\В\С\ (рис. 59), АВ=А_ХВ_Ь AC=A₁C_h ZA = ZA_X.

Доказать: МВС- М_ХВ_ХС_Х.

Доказательство:

1. A A iВ₂ С₂ = A ABC (свойство 8);

2. С₂ совпадает с С\ (А_ХС_Х=А_ХС₂ );

3. лучи А\В₂ и А\В\ совпадают {Z.B_XA_XC_X = ZВА_ХС?)\

4. точки В₂ и В_х совпадают (А_ХВ_Х = А_ХВ₂);

5. АА_ХВ_ХС_Х и А А_ХВ₂ С₂ совпадают, а потому они равны;

6. Так как kA_xB_xC_x = l±A_xB₂ С₂, А А_ХВ₂С₂ = A ABC, то A ABC = А А_ХВ_ХС_Х, что и требовалось доказать.

Запись доказательства первого признака равенства треугольников по учебнику Л. С. Атанасяна и др. выглядит следующим образом:

Доказательство:

1. Наложим A ABC на А А_ХВ_ХС_Х так, чтобы;

1. точка А совпала с точкой А _х;

2. луч АС с лучом АС_Х. Тогда:

3. точка С совпадет с точкой С_х (так как АС = А_ХС_Х);

4. луч АВ пойдет по лучу А_ХВ_Х (так как Z А = Z А_х)\

5. точка В совпадет с точкой В_х (так как АВ-А _ХВ_Х)\

6. сторона ВС совпадет со стороной В_ХС_Х (так как крайние точки этих от­резков совместились);

7. треугольники ABC и А_ХВ_ХС_Х таким образом совместятся, следовательно, они равны, что и требовалось доказать.

Запись доказательства может быть представлена в ходе лекции на экране с помощью мультимедийного проектора.

Использование признака равенства треугольников следует начинать с про­стейших примеров. Затем ситуации должны усложняться и в конечном варианте возможно использование нескольких признаков. Следует учитывать ситуации, в которых школьники должны выбрать оптимальный для данного случая признак.

184

4. Обучение решению задач с помощью признаков равенства треугольников

Овладение тем или иным методом предполагает усвоение всех его со­ставляющих действий. Компонентами умения применять признаки равенства треугольников в различных конкретных ситуациях являются:

1. умение выделять на чертеже фигуры;

2. умение переосмысливать элементы чертежа в плане различных понятий;

3. умение осуществлять сопоставимое вычленение фигур;

4. умение преобразовывать требование задачи в равносильное ему;

5. умение выводить следствия из данных условий;

6. умение выделять треугольники с заданными элементами;

7. умение строить треугольники с заданными элементами;

8. умение переходить от равенства треугольников к равенству их элемен­тов;

9. умение переходить от равенства элементов треугольника к равенству самих треугольников;

10. умение выбирать из различных соотношений между сторонами и углами треугольников такие, которые наиболее просто доказать в дан­ной ситуации;

11. умение распознавать ситуации, к которым применим признак равен­ства треугольников.

Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере.

Два отрезка АВ и CD пересекаются в точке О, которая является сере- tUinot) каждого из них. Доказать равенство треугольников ACD и ВВС.

Для доказательства выделим, прежде всего, треугольники ACD и В DC IVмгние выделять на рисунке фигуры, переосмысливать элементы чертежа в и тин* различных понятий). Сравним треугольники ADC и BDC (умение осуще- им'иш. сопоставимое вычленение фигур). Учитывая, что DC - общая сторона 1|w\ j ольпика ADC и BDC, нужно доказать:

I) AD = ВС, DB = АС; либо 2) AD = ВС, ZADC = ZBCD;

либо 3) zACD = ZBDC, ZADC = ZBCD;

-1) / DCA = Z CDB, AC = BD.

Нотможно доказательство и других соотношений, например: 5) AD = В С,

К \ /А “ Z В (умение переходить от равенства треугольников к равенству и* чемпион, умение преобразовывать требование задачи). Важно выбрать из ука- мнныч соотношений такое, которое наиболее просто доказать в данной ситуации. It ||н|о(»ным образом продолжите анализ решения этой задачи.)

< >тметим, что умения преобразовывать требование задачи, формулиро- йни, промежуточные задачи, выводить следствия из данных условий являются мшимой решения любых задач, они должны формироваться, в основном на мири»,1ч уроках геометрии. Остановимся лишь на тех умениях, которые являют- i=i » мпшфичеекими в составе умения применять признаки равенства треуголь­ник m И учебниках достаточно упражнений на формирование умения перехо-

185