1. Сущность и значение метода координат в школьном курсе математики

В настоящее время многие специалисты из разных областей знания ис- iMHii.iyioT в своей работе прямоугольные декартовы координаты. Координаты дин и возможность наглядно-геометрически при помощи графика изобразить ииинимость одной величины от другой (врач строит график температуры боль- iiMi о м процессе болезни, экономист - график роста производства и т. д.).

Что же такое координаты?

Координаты - это числа, по которым определяется положение точки на ирнмои, на плоскости и в пространстве. Координаты - это числа, взятые в опре- иг и ном порядке. Название «декартовы координаты» наводят на ложную мысль о том, что эти координаты были открыты Р. Декартом. В действительно-

• in прямоугольные координаты употреблялись в геометрии ещё до начала на­жги >ры. Древний математик александрийской школы Апполоний Пергский (III

II кн. До н. Э.) уже фактически пользовался прямоугольными координатами.

• Mi при помощи них определял известные уже в то время кривые: параболу, ги- nt'pUvjiy и эллипс. Апполоний задавал их уравнениями:

у² ~рх (парабола);

у² -рх + — х (гипербола);

Ч

235

у²=рх~ — х² (эллипс), (pnq- положительные числа).

Ч

Апполоний. конечно, не записывал уравнения в этой алгебраической форме, так как в те времена не существовало ещё алгебраической символики. Он описывал уравнения, пользуясь геометрическими понятиями: у² в его тер­минологии есть площадь квадрата со сторонами у; рх есть площадь прямо­угольника со сторонами р и х и т. д. С этими уравнениями связаны названия кривых. Парабола (в переводе с греч. - «равенство»): квадрат у² имеет пло­щадь, равную площади прямоугольника рх. Гипербола по-гречески означает избыток: площадь квадрата у² превосходит площадь прямоугольника рх, эллипс по-гречески означает недостаток: площадь квадрата у меньше площади прямо­угольника рх.

Впервые идея координатного метода была систематически развита Пьером Ферма (1601 - 1665) и Рене Декартом (1596 - 1650). В их формулиров­ках расстояния до координатных осей могли быть только положительными чис­лами или нулем. Идея о том, что одно или оба эти расстояния можно также счи­тать и отрицательными принадлежит Исааку Ньютону (1643 - 1727).

Г. В. Лейбниц (1646 - 1716) первым назвал эти расстояния «координатными».

Таким образом, открытие декартовых координат не принадлежит Декарту. Декарт построил аналитическую геометрию, в которой сошлись математиче­ские открытия, с трудом слагавшиеся в течение тысячелетий. Работа Р. Декарта «La Geometric», в которой излагались основные идеи аналитической геометрии на плоскости, была опубликована в 1637 г.

Значение аналитической геометрии состоит прежде всего в том, что она установила тесную связь между геометрией и алгеброй. Эти две ветви математи­ки ко времени Р. Декарта достигли высокой степени совершенства, но развитие их в течение тысячелетий шло независимо друг от друга, и ко времени появления аналитической геометрии между ними была довольно слабая связь.

Что же дает нам введение понятия координаты?

1. В математическом отношении устанавливается взаимно-однозначное соответствие между множеством действительных чисел и множеством точек прямой или между парами чисел и множеством точек плоскости (между множе­ством троек чисел и множеством точек пространства).

2. В познавательном отношении мы получаем новые способы решения ря­да известных задач.

3. В методическом отношении: например, координатная прямая использу­ется для введения сравнения чисел, правил сложения чисел; координатная плос­кость используется для геометрической интерпретации решений уравнений или неравенств, содержащих переменные.

В чем сущность координатного метода?

Сущность координатного метода заключается в том, что устанавливается соответствие между множеством точек прямой (плоскости, пространства) и множеством чисел (пар чисел, троек чисел).

JI. С. Атанасян в пробном учебнике «Геометрия 6-8» (М., 1981) отмечает, что «введение системы координат позволяет изучать геометрические фигуры и

236

нн » нпйства с помощью уравнений и неравенств. В этом и состоит сущность ме- *♦»tn координат».

В чем эффективность координатного метода?

1. Координатный метод позволяет решать геометрические задачи средст- мимм алгебры, а некоторые алгебраические задачи средствами геометрии.

2. Использование координатного метода приводит к результатам более Mpiu I I.IM и коротким путем.

Координатное решение задачи позволяет охватить все его частные слу­чим, при этом для него не характерно выполнение дополнительных построений.

4. Использование координатного метода способствует развитию геометри- чг» кой интуиции (правильный выбор системы координат и т.д.).

^rv Координатный метод обогащает алгебру геометрической наглядностью.

6. Использование координатного метода способствует развитию вычисли- »г! 11 л м х и графических навыков.

В соответствии с программой по математике для средней общеобразова- 1»*||мюи школы координаты впервые появляются в 6-7-х классах при изучении »^дующего алгебраического материала: «Изображение чисел на прямой, коорди- ммп.1 точки. Формула расстояния между двумя точками с заданными координата­ми 11римоугольная система координат на плоскости, абсцисса и ордината точки».

В учебнике геометрии А. В. Погорелова, JI. С. Атанасяна и др. использу- |ми| один и тот же вариант изложения метода координат на плоскости. Однако рощ. координатного метода в этих учебниках не одинакова. Если учебник JL С. Лишаоша и др. ограничивается лишь незначительным использованием коор­динат в изложении геометрии (определение тригонометрических функций, ос­новное три гонометрическое тождество, формулы приведения, теорема косину- ПИ1), то в учебнике А. В. Погорелова координатный метод является инструмен- 1ом изучения геометрии. Он широко используется при доказательстве теорем и определении понятий (с помощью координатного метода изложены теория преобразований и векторы).

Схема изложения метода координат в учебнике А. В. Погорелова такова: нигдепис координат, координаты середины отрезка, расстояние между точками, урпмиепие окружности, уравнение прямой, координаты вектора.

В учебнике JL С. Атанасяна и др. последовательность такова: координаты иг»мора, простейшие задачи в координатах, уравнения окружности и прямой.

В пробных учебниках А. Д. Александрова и др. координаты появляются ппиь в десятом классе, здесь рассматривается прямоугольная система коорди- мш, формула для расстояния между точками, задание сферы и шара в системе координат, задания фигур уравнениями и неравенствами, уравнение плоскости, другие системы координат.

И'гак, учащиеся в курсе планиметрий знакомятся с тремя важными форму­лам и. >го формулы для нахождения:

1. координат середины отрезка при условии, что координаты концов от- ре 1кп известны;

2. длины вектора по его координатам;

Т) расстояния между двумя точками с заданными координатами.

237