Этот результат можно получить выполнив лишь два действия,-если вос­пользоваться выражением х (у-z), тождественно равным выражению xy-xz: х (у-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 • 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно рав­ным выражением х (у — z).

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражени­ем называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения».

Освоение различных видов преобразований на этом этапе начинается с вве­дения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементар­ных функций - показательных, степенных, логарифмических, тригонометриче­ских. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выделить и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.

Следует заметить, что понятие тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к вы­ражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преоб­разования - это преобразования выражений, а равносильные - преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части фор­мулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Например, уравнения 5х - Зх - 2 и 2х = 2 считаются не просто равносильными, а одинаковыми.

В учебниках алгебры Ш.А. Алимова и др. понятие тождества явно не вво­дится в 7-8-х классах и только в 9 классе в теме «Тригонометрические тождест­ва» при решении задачи 1: «Доказать, что при афкк, к <eZ, справедливо равен­ство 1 + ctg² а = —\—» вводится это понятие. Здесь учащимся поясняется, что sin а

указанное равенство «справедливо для всех допустимых значений а, т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл. Такие равенства называют тождествами, а задачи на доказательства таких равенств называют задачами на доказательство тождеств».

III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).

Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого и мощного ап­парата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.

Развертывание второго этапа изучения преобразований происходит на протяжении всего курса алгебры основной школы. Переход к третьему этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже извест­ного материала, усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований.

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основном уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований (например, от­носящиеся к тригонометрическим и логарифмическим функциям), однако они только обогащают её, расширяют её возможности, но не меняют её структуру.

Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.

Необходимо отметить один тип преобразований, специфический для кур­ен алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих пре­дельные переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференциро­вания и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- 1иший от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- горое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах пе­ременные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами мияяются определенные множества функций. Например, правило дифференци- рования суммы: (f + g)' =f+ g'; здесь fug- переменные, пробегающие множе- ет но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».

Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом ма­териале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.

Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в

любом коммутативном кольце, и тождества — =-,а*0, справедливого в лю-

ас с

(юм поле.

Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические операции и основные элементарные функции, а также композиции элементар­ных функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую матема- гическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логариф­мическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. На­пример, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изо­морфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультип­ликативную группу положительных действительных чисел, при котором еди­ница отображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается по­казательной функцией с основанием я: / (х) = а*. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.

Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чертами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:

1. преобразования алгебраических выражений;

2. преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дроб­ными показателями;

3. преобразования тригонометрических выражений;

4. преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы;

5. преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и пре­образования, основанные на правилах, дифференцирования и интегрирования.

33

аЪ
щ	аЪ