в

12 С х N

х'

-►

А

12 gV.. М. Ь

'К х

38

Рис. 35

Из равенств (3) и (4) получаем, что

12 + д: _ 38-х * 12

. Решая это уравнение,

находим: х\ = 18, х₂ = 8. Учитывая, что первый рабочий работает быстрее, то х < 12, значит, ас = 8. Тогда время (его изображает отрезок AM) равно 20 ч, а вре­мя t₂ (его изображает отрезок МК) равно 30 ч.

О т в е т : 20 ч и 30 ч.

В задачах 4 и 5 геометрический метод решения представляет собой инте­грацию графического метода, метода подобия треугольников и метода уравне­ний и неравенств.

Интеграция алгебраического и геометрического методов позволяет иногда оригинально и быстро решить достаточно сложную (в алгебраиче­ском смысле) задачу. Приведем пример.

Задача 6. Сын выбежал из школы в 17.00, через несколько минут отец вышел из дома в школу. Сын прибежал домой через 4 минуты после того, как отец вышел из дома. Отец пришёл в школу в 17.10 того же дня. Какую часть пути сын пробежал до встречи с отцом? (Скорости отца и сына счи­тать постоятыми).

Решим эту задачу, выделяя этапы её решения.

1. Этап {перевод задачи на геометрический язык).

ОВ - график движения сына (рис, 36). CD - график движения отца. Надо найти отношение MN : NK.

2. Этап (решение задачи на геометрическом языке).

Решение

A ODN ~ A BNC (по I признаку), поэтому — = = — = -

OD MN 10 5

Следовательно, —- = - .

МК 1

СЛ 5

Ответ:

7

122

у,KM

г

4

D

Oj

О

D х,мин

x, мин

У, км

10 Рис. 36

Алгебраический метод решения задачи приводит к системе уравнений:

где х км прошел до встречи сын, ay км прошел до встречи отец.

(Другие примеры решения текстовых задач графико-геометрическим методом см. в работах [4], [5], [6], [10]).

Рисунки и решения приведенных выше задач в ходе лекции могут демонстриро- наться с помощью мильтимедиапроектора.

1. Как трактуется понятие «текстовая задача»? Назовите её основные компоненты,

2. Какова основная особенность текстовых задач?

3. Какие существуют методы решения текстовых задач? Охарактери- чуйте их.

4. Что понимается под геометрическим методом решения текстовых за­дач? В чем его преимущество перед другими методами?

5. Какая пропедевтическая работа необходима для обучения учащихся решению текстовых задач? Проанализируйте учебники математики для 5-6 классов разных авторов. Содержатся ли в них упражнения, направленные на пропедевтику алгебраического и геометрического методов решения тексто- мых задач? Приведите соответствующие примеры.

6. Какие типы текстовых задач решают учащиеся в 5-6 классах? Какие методы решения больше всего здесь используются?

7. Какие виды задач на проценты изучаются в 5 классе? приведите примеры. Каким способом решаются эти задачи?

8. Охарактеризуйте этапы решения текстовой задачи.

9. Какие существуют формы записи решения текстовой задачи?

Вопросы и задания

123

10. Найдите в учебниках алгебры задачи, решаемые геометрическим методом: а) с помощью линейной диаграммы; б) с помощью двумерной диа­граммы; в) с помощью графиков. Оформите запись решения этих задач в тет­радях.

11. Что понимается под интеграцией алгебраического и геометрическо­го методов решения текстовой задачи?

Рекомендуемая литература

1. Барыбин, К. С. Методика преподавания алгебры: Пособие для учителя / К. С. Барыбин. - М.: Просвещение. 1965.

2. Д е м и д о в а, Т. Е., Т о н к и х, А. П. О способах проверки решения текстовых задач /

Т.Е. Демидова, А. П. Тонких // Математика в школе. - 1999. - № 5. - С. 4 - 7.

3. Д о р о ф е е в, Г. В. Проверка решения текстовых задач / Г. В. Дорофеев // Математика в школе.- 1974.-№5.-С. 18-20.

4. Капкаева, Л. С. Интеграция алгебраического и геометрического методов решения тек­стовых задач: Учеб, пособие для студ. мат. спец. пед. вузов / Л.С. Капкаева. - Саранск,

2001.

5. Капкаева, JL С. Интеграция алгебраического и геометрического методов при обучении математике в школе: Учеб. пособие для студ. мат. спец. пед. вузов / Л.С. Капкаева. - Саранск, 2003.

6. К а п к а е в а, Л. С. Алгебраический и геометрический методы в обучении математике / Л.С". Капкаева // Математика в школе. - 2004. - № 7. - С. 27-33.

7. К и п н и с, И. М. Задачи на составление уравнений и неравенств / И. М. Кипнис - М.: Прос­вещение, 1980.

8. К о р ж у е в, А. В., Б о г а т ы р е в а, Н. Э. Обучение решению текстовых задач с неравенст­вами / А.В. Коржуев, Н.Э. Богатырева // Математика в школе. - 1993. - № 3. - С.

9. Л а х о в а, Н. В. Решение текстовых задач в средних классах / Н.В. Лахова // Математика в школе.-1998.- №3.-С. 17-23.

10. Л у н и н а, Л. С. Обучение решению алгебраических задач геометрическим методом / Л. С. Лунина // Математика в школе. - 1996. - № 4. - С. 34 - 39.

11. Л у р ь е, М. В., А л е к с а н д р о в, Б. И. Задачи на составление уравнений / М.В. Лурье, Б.И. Александров. - М.: Наука, 1976.

12. Методика и технология обучения математике. Курс лекций: пособие для вузов / под научн. ред. Н. Л. Стефановой, Н. С. Подходовой. - М.: Дрофа, 2005. - 416 с.

13. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика: Учеб. посо­бие для студентов пед. ин-тов по физ.-мат. спец. /А.Я. Блох, В.А. Гусев, Г.В. Дорофеев и др.; Сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987.

14. О р е х о в, Ф. А. Решение задач методом составления уравнений: Пособие для учителя / Ф.А. Орехов. - М.: Просвещение, 1971.

15. С а р а н ц е в, Г. И. Упражнения в обучении математике / Г.И. Саранцев. 2-е изд. дораб. - М.: Просвещение, 2005.

16. Т е р е ш и н, Н. А. Сборник задач и примеров по алгебре. 7-9 класс / Н. А. Терешин, Т. Н. Терешина. - М.: Аквариум, 1997.

17. Ф р и д м а н, Л. М. Как научиться решать задачи: Беседы о решении математических за­дач. Пособие для уч-ся / Л. М. Фридман - М.: Просвещение, 1979.

18. Школьные учебники по алгебре (см, лекцию № 2).

124