Графические иллюстрации приводят учащихся к выводу, что при к > О график линейной функции составляет острый угол с положительным направле­нием оси абсцисс, а при к < 0 - тупой угол.

После этого можно говорить о возрастании и убывании линейной функ­ции в зависимости от знака коэффициента к. Сказанное можно закрепить в уп­ражнениях.

3. Не строя графиков функций, установите, под острым, тупым или нуле­вым углом они наклонены к положительному направлению оси абсцисс:

а )у=х; б)у = -х + 1; в) у = 2; г) у = 10,7л: — 5.

3. Даны функции:

а) у = 2х + 4; б) у = 2х - 4; в) у - -2х + 4; г) у =- 2х - 4.

Не строя графиков, выясните, в каком случае значения у возрастают (убывают) с возрастанием х. Затем постройте графики и проверьте на них свои ответы.

Выполняя такие упражнения, учащиеся постепенно овладевают умением «читать» график, готовятся к элементарному исследованию функции у = кх + Ь. Эти упражнения являются также подготовкой к более серьезному изучению в дальнейшем геометрического смысла и роли коэффициентов квадратичной функции.

Таким образом, при изучении линейной функции предпочтение отдается графическим методам, поскольку основной аппарат для аналитического иссле­дования функции (неравенства) ещё не изучен. Восприятие графических иллю­страций, и даже суждений и умозаключений, из наблюдения и анализа геомет­рических представлений более доступно семиклассникам, чем выполнение ими логических аналитических умозаключений.

Аналогично можно провести исследование роли коэффициента к в фор- к

муле у = -, задающей обратную пропорциональность. Но при этом надо учи­тывать, что рассматриваемая функция имеет разрыв при х = 0. (Проведите это исследование самостоятельно и сделайте выводы.)

Взаимное расположение графиков линейных функции

Графики двух линейных функций представляют собой прямые, которые либо пересекаются, либо параллельны. Установить с учащимися этот факт можно следующим образом. Рассмотрим, например, графики функций, заданных формулами у = 0,9х - 1 и у = 0,8х + 1 с различными коэффициентами при х. Выяс­ним, пересекаются ли эти графики. Пересечение графиков означает, что они име­ют общую точку. В этом случае найдется такое значение х, которому соответству­ет одно и то же значение у для обеих функций. Чтобы найти это значение х, надо решить уравнение:

0. 9л— 1 — 0,8х + 1.

При х- 20 обе функции у = 0,9х - 1 и у = 0,8х + 1 принимают одно и то же значение, равное 17. Точка (20; 17) принадлежит как одному, так и другому гра­

140

фику. Такая точка только одна. Значит, прямые, являющиеся графиками функций у = 0,9х - 1 и у = 0,8л: + 1, пересекаются.

Рассмотрим теперь линейные функции, заданные формулами у = 0,5х + 4 и у- 0,5х - 2 с одинаковыми коэффициентами. Так как уравнение

0,5л: + 4 = 0,5х - 2

не имеет корней, то прямые, которые являются графиками функций у = 0,5х + 4 и у = 0,5х - 2 не имеют общих точек, то есть они параллельны.

Вообще!, графики двух линейных функций, заданных формулами вида у = кх + Ъ, пересекаются, если коэффициенты при х различны, и параллельны, если коэффициенты при х одинаковы.

Графики линейных функций, заданных формулами у = кх + Ъ с одинако­выми коэффициентами при х и различными b_t параллельны и наклонены к оси Ох под одним и тем же углом. Этот угол зависит от коэффициента к. Число к назы­вают угловым коэффициентом прямой - графика функции у = кх + Ъ.

Это свойство можно сформулировать так: если угловые коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые параллельны.

Из формулы у = кх + Ь следует, что при х = 0, у = Ъ. Значит, график функ­ции у = кх + Ь пересекает ось Оу в точке с координатами (0; Ь).

Чтобы далее выяснить, как располагаются графики функций у~кх + Ъ при различных значениях к и одинаковых значениях Ъ, можно предложить учащимся упражнение: постройте графики функций: у = 2х + 3, у = 0,5х + 3, у = -Зх + 3. После построения учащиеся делают вывод, что все эти прямые пересекаются в одной точке, лежащей на оси Оу.

Основные типы упражнений к этой теме следующие:

1. Установить взаимное расположение графиков функций (функции заданы формулами).

2. Линейные функции заданы формулами. Выделить те функции, графики которых: а) параллельны; 6) пересекаются.

3. Дана линейная функция (например,; у = 2,5х + 4). Задайте формулой ка­кую-нибудь линейную функцию, график которой

а) параллелен графику данной функции;

б) пересекает его.

4. Задать формулами две линейные функции, графики которых:

а) параллельные прямые; б) пересекающиеся прямые.

5. Найти координаты точки пересечения графиков функций (функции зада­ны формулами).

В результате выполнения упражнений учащиеся должны знать, как распо­лагается график функции y = kx + b в зависимости от значений Ус и Ь.

141