Таким образом, рассмотренные примеры решения уравнений с модулем показывают, что графический метод представляет собой интеграцию геомет- рических действий (построение графиков функций) и аналитических дейст- вий (тождественные преобразования, решение уравнения). Приведем ещё не- сколько примеров.

Пример 21. Решить уравнение |х + l| + |x-l| = l.

Решение./. Алгебраический метод

1. Разобьем всю числовую ось точками х = -1их=1на три промежут- ка: (-оо; -1), [-1; 1) и [1; +оо). На каждом промежутке решим наше уравнение.

1. На промежутке (-оо; -1) уравнение запишется в виде:

-х-1-х+1 = 1 или -2х = 1,

откуда х = - А (не входит в данный промежуток, значит, не является корнем).

Б) На промежутке [-1; 1) уравнение примет вид: х + 1 —х + 1 ~ 1,

откуда 2=1- неверное равенство, значит, на этом промежутке уравнение тоже не имеет корней.

2. На промежутке [1; +оо) уравнение примет вид:

х+ 1 +х- 1 = 1,

откуда х = - (не входит в данный промежуток, значит, не является корнем). Ответ: корней нет.

Построим геометрический образ этого уравнения, используя графики.

2. Графический метод

. 1. Преобразуем уравнение к виду: I х + l| = 1 -1 х - ll.

2. Построим в одной системе коор- динат графики функций] (рис. 25) yi= |х + ll иу₂ - 1 -lx- l|.

Как видим из рисунка, гра- фики функций у\ и у₂ не пересе- каются, значит, данное уравнение,

* не имеет корней.

Ответ: корней нет.

Мы рассмотрели случаи, ко- гда уравнения, содержащие мо- дуль, имеют конечное число кор- ней (графики пересекаются) и не

Рис. 25 имеют корней (графики не пересе-

каются). Возможны также случаи, когда такие уравнения имеют бесконечное множество корней (графики пол­ностью или частично совпадают). Геометрический образ одного из таких уравнений

1. х + l| = 2-ix-l|

97

представлен на рисунке 26. Графики функций у\ иу₂ на отрезке [-1; 1] совпа- дают, значит, уравнение имеет бесконечное множество корней, а именно, от- резок

Ответ: [-1; 1J.

Графический метод реше- ния уравнений, содержащих мо- дуль, требует от учащихся сле- дующих умений:

1. умение преобразовать уравнение к виду, удобному для использования графического метода;

2. умение строить график функции, содержащей модуль;

3. умение устанавливать с помощью чертежа, имеет урав- нение, содержащее модуль, ре- шения или нет;

пересечения графиков функций,

5) умение правильно составлять уравнения для нахождения абсцисс то- чек пересечения графиков.

Рассмотрим теперь интеграцию алгебраического и геометрического ме- тодов решения неравенств, содержащих модуль. При этом будем использо- вать следующие свойства:

1. Неравенство |х| < а, где а > 0, означает то же самое, что и двойное неравенство -а <х< а, т.е. при а > О неравенство I х I < а равносильно нера- венству -а <х< а.

2. Неравенство \х \ > а, где а > 0, озна- чает, что х > а или х < -а.

Пример 22. Решить неравенство I 4х -з| >3.

Решение./. Алгебраический метод Согласно свойству 2 данное неравенст- во означает, что (4х - 3) > 3 или (4х - 3) < -3.

3

-> Решая эти неравенства, получаем: х > -, х < 0.

3

О т в е т: х < 0, х > —.

2

2. Графический метод

1. Построим в одной системе коорди- нат графики функций у_г = | 4х - 3| и

Рис. 27 У2⁼ 3 (рис. 27),

4) умение находить координаты точек стоящих в левой и правой частях уравнения;