К заданиям, в которых проявляется прикладная роль неравенств в курсе алгебры, можно отнести нахождение области определения функции и иссле­дование корней уравнений в зависимости от параметров.

4. Интеграция алгебраического и графического методов в решении уравнений, неравенств и их систем*

Под интеграцией алгебраического и геометрического (графического) методов будем понимать процесс сочетания или связи (слияния) данных ме­тодов, осуществляемый учеником путем перевода учебной информации с ал­гебраического языка на геометрический или с геометрического языка на ал­гебраический и обратно.

Под сочетанием алгебраического и геометрического методов будем по­нимать одновременное использование их на одном уроке при решении задачи, доказательстве теоремы, а также при введении нового понятия или правила,

1. Решение квадратных уравнений и неравенств

Историческая справка

Квадратные уравнения и способы их решения были известны в глубокой древности. Так ещё за две тысячи лет до нашей эры задачи измерения земельных участков приводили древних вавилонян к решению квадратных уравнений.

В древней Греции (Пифагор, Евклид) квадратные уравнения решались гео­метрическим методом.

Знаменитый узбекский математик аль-Хорезми решал квадратные уравнения как алгебраическим, так и геометрическим методами.

Так как общая формула решения квадратных уравнений тогда ещё не была выведена, то аль-Хорезми приводит решения шести различных видов квадратных уравнений, например:

1. Один квадрат равен корням (х² = ах).

2. Один квадрат и корни равны числу (х² + ах = Ъ).

3. Один квадрат и число равны корням (х² + а ~ Ьх) и т.д.

Приведем примеры решения уравнений аль-Хорезми алгебраическим и геометри­ческим методами.

Пример 1.

^ + 21 = 10*.

Алгебраический метод

1. Раздели число корней пополам: 10:2 = 5.

2. Умножь это число само на себя; 5*5 = 25.

3. Вычти из него число: 25 — 21 =4.

4. Извлеки квадратный корень: л/4 =2.

5. Этот корень прибавь к половине корней или вычти из неё: 5 + 2 = 7; 5—2 = 3.

Если записать все приведенные действия одной формулой, то получим:

* Данный пункт предназначен для самостоятельного изучения студентами. 72

х1	5*
I	II
5х	25
III	IV

73