квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.

Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей - приложения методов, которые разра­батываются в линии уравнений и неравенств, к исследованию функций (напри­мер, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т.д. С другой стороны, функциональ­ная линия оказывает существенное влияние на содержание линии уравнений и неравенств и на стиль её изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследова­нию уравнений, неравенств и их систем.

Следует отметить взаимосвязь линии уравнений и неравенств с алгорит­мической линией. Само содержание понятия алгоритма может быть выделено на основе анализа процесса решения уравнений различных классов. Влияние же ал-? горитмической линии на линию уравнений и неравенств заключается прежде всего в возможности использования её понятий для описания алгоритмов реше­ния уравнений, неравенств и систем различных классов.

2. Основные понятия линии уравнений и неравенств

а) О трактовке понятия уравнения

Понятие уравнения относится к важнейшим математическим понятиям. Именно поэтому трудно дать его определение, одновременно и строгое с фор­мальной точки зрения, и доступное для учащихся, которые приступают к овла­дению школьным курсом алгебры. Приведем примеры некоторых определений.

Опр. 1 (логико-математическое определение уравнения). Пусть на мно­жестве М зафиксирован набор алгебраических операций, х - переменная на М; тогда уравнением на множестве М относительно х называется предикат (т.е. предложение с переменной) вида а(х) = Ъ (х), где а (х) и b (х) - термы (т.е. вы­ражения) относительно заданных операций, в запись которых входит символ х.

Аналогично определяется уравнение от двух переменных и т.д.

Опр. 2. Предложение с переменной, имеющее вид равенства между двумя выражениями с этой переменной, называется уравнением (Н.Я. Виленкин, 1970).

Анализируя приведенное математическое определение уравнения можно выделить в нём два компонента: первый компонент (уравнение — это предикат) - смысловой, он важен для уяснения понятия корня уравнения. Второй компо­нент - знаковый (уравнение - это равенство, соединяющее два терма) - относит­ся к формальным особенностям записи, изображающей уравнение. Он важен, ко­гда запись уравнения подвергается различным преобразованиям: часто такие преобразования производятся чисто механически: без обращения к их смыслу.

Опр. 3. Равенство с переменной называется уравнением. Значение пере­менной, при котором равенство с переменной обращается в верное числовое ра­венство, называется корнем уравнения (А.Н. Колмогоров, 1975).

В учебнике LLI.A. Алимова и др. «Алгебра -7» (М., 2002) понятие уравнения

44

HHiiMM ц'и на материале текстовой задачи, которую мы рассмотрим позже. После |ч пиния (формулируется определение.

Опр. 4. Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, ч.ише гея уравнением (Ш.А. Алимов, 2002)

Чдесь же вводятся понятия левой и правой частей уравнения и его корня, i ирном уравнения называется то значение неизвестного, при котором это урав- и ■ 1111 е ofipai 1 (ается в верное равенство.

1. )тот способ введения соответствует ещё одному компоненту понятия |ь||Н1Г1шя прикладному.

11омимо выделенных компонентов понятия уравнения (смыслового, знако-

, прикладного) в школьной математике большую роль играет компонент,

котором уравнение трактуется как равенство двух функций. Его роль

прими,ниется в изучении графического метода решения уравнений. Однако в из- и*¹ I ных действующих учебниках алгебры этот компонент не кладется в основу ии|и\щч!сния уравнения.

Опр. 5. Буквенное равенство, которое не обязательно превращается в вер­ши численное равенство при допустимых наборах букв, называется уравнением I I I Фаддеев, 1983).

2. основу этого определения положено противопоставление тождества и уравнения.

Таким образом, при освоении понятия уравнения необходимо использо- iiiit I. 11-рмины «уравнение», «корень уравнения», «что значит решить уравнение».

I) определении понятия уравнения используется один из двух терминов: переменная» или «неизвестное». Различие между ними состоит в том, что пе­ременная пробегает ряд значений, не выделяя ни одного из них специально, а т’иш'стное представляет собой буквенное обозначение конкретного числа (по- | и Iму этим термином удобно пользоваться при составлении уравнений по тек-

• тмим задачам). Вопрос о выборе одного из них в школьной практике в на- | I о и I цсе время окончательно ещё не решён.

Мыбор одного из них влечет за собой различия в нахождении корней урав- н> ним. Так, с термином «переменная» связана операция подстановки числа вме- ' гп буквы, поэтому в уравнение а (х) = Ъ (х) можно подставлять вместо х кон-

• |м'П1ые числа и находить среди них корни. Термин же «неизвестное» обозна- ми< I фиксированное число; подставлять число на место буквы, обозначающей иги Iместное, поэтому нелогично. Нахождение корней уравнения а (х) = Ъ (х) с и oii точки зрения должно осуществляться с помощью действий, при которых ии равенство рассматривают как верное и пытаются привести его к виду х = х<>, (дол'ц • числовое выражение.

Мы будем в дальнейшем пользоваться термином неизвестное, который *'ниже с прикладной направленностью линии уравнений и неравенств.

Г>) Равносильность и логическое следование

1’авносильность и логическое следование - это всё логические средства, которые используются в процессе изучения уравнений и неравенств. Наиболее Пйжпмм из них является понятие равносильности.

45

Опр. Уравнения называются равносильными, если равносильны соответ­ствующие предикаты, т.е. если выполнены условия: области определения урав­нений одинаковы и множества их корней равны.

Имеются два пути установления равносильности уравнений:

1. Используя известные множества корней уравнений, убедиться в их совпадении; например, уравнениях+1=х + 2их²+1=х² + 2 равносильны, так как они не имеют корней.

2. Используя особенности записи уравнений, осуществить последователь­ный переход от одной записи к другой посредством преобразований, не нару­шающих равносильности.

Для большинства заданий второй путь более характерен, ведь равносиль­ность в теории уравнений как раз и используется для того, чтобы указать кон­кретные правила для решения уравнений. Однако в преподавании ограничивать­ся им нецелесообразно, так как он относится только к практическому примене­нию равносильности и требует первого для своего обоснования.

В отношении формирования понятия равносильности и его применения к решению уравнений учебные пособия по алгебре можно разделить на две группы. К первой относятся те пособия, в которых использование равносильных преобра­зований основано на явном введении и изучении понятия равносильности; ко второй - те, в которых применение равносильных преобразований предшеству­ет выделению самого понятия. Методика работы над понятием равносильности имеет при указанных подходах отличия.

В связи с вопросом равносильности в изучении материала линии уравне­ний и неравенств можно выделить три основных этапа.

Первый этап охватывает начальный курс школьной математики и начало курса алгебры. Здесь происходит ознакомление с различными способами реше­ния отдельных, наиболее простых классов уравнений. Используемые при этом преобразования получают индуктивное обоснование при рассмотрении конкрет­ных примеров. По мере накопления опыта индуктивные рассуждения всё чаще заменяются такими, где фактически используется равносильность, но сам, тер­мин не употребляется. Длительность этого этапа может быть различной в зави­симости от методических установок учебника.

На втором этапе происходит выделение понятия равносильности и со­поставление его теоретического содержания с правилами преобразований, кото­рые выводятся на его основе. Длительность этого этапа незначительна, так как на нем происходит только выделение этого понятия и его использование на не­скольких теоретических примерах.

На третьем этапе на основе общего понятия равносильности происходит развертывание и общей теории и теории отдельных классов уравнений. Такой стиль характерен для курса алгебры и начал анализа.

К числу неравносильных преобразований относится понятие логического следования.

Логическое следование начинает применяться значительно позже равно­сильности и осваивается как дополнение к нему. При решении уравнений при прочих равных условиях предпочтение отдается равносильному преобразова-

46

нимt мч ичоскос следование применяется лишь тогда, когда равносильного пре- • н.|.,1 ншймим найти не удается.

it) Классификация преобразований уравнений, неравенств и их систем

11 мс I од икс математики выделяют три типа таких преобразований:

I) 11 реобразование одной из частей уравнения или неравенства.

' I ('оптсованное преобразование обеих частей уравнения или неравенства.

I) 11ршбразование логической структуры.

I Ioiic'iium эту классификацию.

Преобразования 1-го типа используются при необходимости упрощения нырмфоиии, входящего в запись решаемого уравнения или неравенства. Напри- if-|i | ичимя уравнение cos х ■ tgx= 1, можно пытаться заменить выражение в ле- ннп ни I и более простым. В данном случае имеем: sin х = 1, это уравнение не- [ н щ.по исходному за счет изменения области определения. При изучении и i4.il 1|м.1Х типов уравнений, например, тригонометрических или логарифмиче- 1 и при такой замене возможно получение уравнения, неравносильного ис- н т..му уравнению (log₂ (х + 1) + log₂ (х + 3) = 3 => log₂(x + 1)(х+3) = 3).

11| п-образование одной из частей уравнения используют раньше всех дру- i 11 и|''.'образований уравнений, это происходит ещё в начальном курсе матема- НН'И I |рочность владения навыком преобразований этого типа имеет большое нш'и мне для успешности изучения других видов преобразований.

Преобразования 2-го типа состоят в согласованном изменении обеих чж it'll уравнения или неравенства в результате применения к ним арифметиче- ' и- мспствий или элементарных функций. Преобразования 2-го типа много-

1ПП1Ы. Они составляют ядро материала, изучаемого в линии уравнений и

н. Приведем примеры преобразований этого типа.

I) 11рибавление к обеим частям уравнения (неравенства) одного и того же

НМрЮКСПИЯ.

-’и) Умножение (деление) обеих частей уравнения на одно и то же выражение.

.’(>) Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, при- пимиинцее только положительные значения.

.!и) Умножение (деление) обеих частей неравенства на выражение, при- нимпинцое только отрицательные значения и изменение знака неравенства на >.|"Ч иноположный.

In) 11ереход от уравнения а = Ъ к уравнению f(a) =f(b), где/ - некоторая Ф, иьцин, или обратный переход.

16) 11ереход от неравенства а> Ъ к неравенствуf(a) > f(b), где/- возрас- I мм mi inn (функция, или обратный переход.

1и) Переход от неравенства а> Ъ к неравенству f(a) < f(b), где/ - убы- Н'ичишя (функция, или обратный переход.

('реди преобразований 2-го типа преобразования неравенств образуют ■ мыщую в изучении, обширную систему. Этим в значительной степени объяс- п*1* н и то, что навыки решения неравенств формируются медленнее навыков I» Iн.'иия уравнений и не достигают у большинства учащихся такого же уровня.

К .i-ему типу преобразований относятся преобразования уравнений, нера-

47

венств и их систем, изменяющие логическую структуру заданий. В каждом за­дании можно выделить элементарные предикаты - отдельные уравнения или неравенства. Под логической структурой понимается способ связи элементар­ных предикатов посредством логических связок конъюнкции или дизъюнкции.

Приведем примеры.

1. Переход от уравнения а ■ Ъ - 0 к совокупности уравнений а = О, Ъ = О, Для неравенств аналогичный переход имеет вид

а ■ Ь>0 => (<я > О Л £ > 0) V (а < О Л 6 < 0).

Сюда же относятся сходные преобразования для уравнений и неравенстн

^а п ^а ^ г,

вида - = 0, - > 0.

Ь О

2. Переход от системы уравнений к одному уравнению посредством по­членного сложения, вычитания, умножения или деления уравнений, входящих в систему.

Эти два примера иллюстрируют арифметические преобразования логиче­ской структуры. В следующих двух примерах выполняются логические преоб­разования логической структуры.

3. Выделение из системы уравнений или неравенств одного из компонен­тов. Например, при решении системы уравнений способом подстановки можно в качестве первого шага рассмотреть первое из уравнений (это и будет преобра­зование данного типа: А А В => А). Смысл такого преобразования в том, что выделенное уравнение можно подвергать дальнейшим преобразованиям, неза­висимо от той системы, в которую оно входит.

4. Замена переменных. Уравнение F(fix)) = 0 равносильно системе

\F(y) = 0,

[У = /(*)•

Связь этой системы с уравнением такова: х₀ - решение уравнения тогда и толь­ко тогда, когда (x₀',/(xq)) - решение системы.

г) Логические обоснования при изучении уравнений и неравенств

При изучении материала линии уравнений и неравенств большое внима­ние уделяется вопросам обоснования процесса решения конкретных заданий. На начальных этапах изучения курса алгебры и в курсе математики младших классов эти обоснования имеют эмпирический индуктивный характер. По мере накопления опыта решения уравнений, неравенств, систем различных классов всё большую роль приобретают общие свойства преобразований. Наконец, вы­деляются наиболее часто используемые преобразования (равносильность и ло­гическое следование).

Рассмотрим каждое из этих направлений.

1. Эмпирическое обоснование процесса решения. Таким способом опи­сываются приёмы решения первых изучаемых классов уравнений, в частности, уравнений первой степени с одним неизвестным. Методика изучения этих уравнений состоит в предъявлении алгоритма решения таких уравнений и раз­боре нескольких типичных примеров. Указанный алгоритм формируется не сразу. Перед этим разбирается несколько примеров, причем цель рассмотрения