Лекция X

ИЗУЧЕНИЕ ПАРАЛЛЕЛЬНОСТИ И

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМЫХ

НА ПЛОСКОСТИ

I. Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости

1 Различные подходы к введению понятия параллельности прямых на плоскости.

I. Методика изучения признаков параллельности прямых.

'I. Методические замечания к изучению перпендикулярности прямых на плоскости.

1, Цели и этапы изучения взаимного расположения прямых на плоскости

Знания о взаимном расположении прямых и плоскостей лежат в основе щучгния свойств геометрических фигур, как в планиметрии, так и в стереомет­рии Действительно, параллельность и перпендикулярность прямых на плоско- ии миляются необходимым материалом для изучения свойств многоугольников и »наружностей.

Основные цели изучения этой темы:

• актуализировать и обобщить знания и опыт учащихся о взаимном рас­положении прямых на плоскости;

• дать систематические сведения о параллельности прямых, первое пред- ииипгнне об аксиомах и аксиоматическом методе в геометрии;

ииести аксиому параллельных прямых;

обосновать известные учащимся свойства фигур (квадрата, куба и др.), и«умм и. снизанные с отношениями параллельности и перпендикулярности но- йы»’ tuoikma известных фигур, а также новых фигур (например, параллело- «(«ймми и параллелепипеда);

познакомить с новым методом доказательства - косвенным доказатель- ином, формировать опыт его применения при обосновании утверждений и ре- Июннн иишч;

познакомить с историей геометрии как науки, с иными геометриями и I ими подходами к построению евклидовой геометрии.

189

Отношения параллельности и перпендикулярности наряду с отношения­ми равенства и подобия - одни из важнейших для изучения окружающего уче­ника пространства, формирования естественнонаучной картины мира.

Изучение взаимного расположения прямых и плоскостей в школьном курсе математики можно разделить на три этапа:

1. подготовительная (пропедевтическая) работа по ознакомлению уча­щихся со взаимным расположением прямых на плоскости и некоторыми про­странственными фигурами в 1- 6-х классах;

2. систематическое изучение взаимного расположения прямых на плоско­сти и знакомство на наглядной основе с простейшими многогранниками в 7 - 9- х классах;

3. систематическое изучение взаимного расположения прямых и плоско­стей в пространстве в 10 - 11-х классах.

Знакомство со взаимным расположением прямых начинается с первого появления геометрического материала в курсе математики средней школы. Уже в подготовительном курсе геометрии, в 1- 6-х классах изучаются на наглядном уровне такие вопросы, как пересечение двух прямых на плоскости, перпенди­кулярность двух прямых на плоскости, параллельность прямых.

Конечно, изучаться строгая теория параллельных прямых на этой ступе­ни обучения не может. Здесь даются лишь определения перпендикулярных и параллельных прямых, формируются навыки изображения каждого из назван­ных случаев, развиваются умения пользоваться чертежными инструментами - линейкой, угольником, циркулем. Затем полученные знания и умения исполь­зуются при решении простейших задач.

Учащимся известны к этому времени квадрат и куб, прямоугольник и прямоугольный параллелепипед, пирамида, некоторые их свойства, что позво­ляет иллюстрировать новые понятия параллельности и перпендикулярности прямых на этих фигурах, использовать их при составлении задач по данным темам.

Основой для введения различных случаев взаимного расположения пря­мых является беседа о возможном числе общих точек у двух прямых на плоско­сти, где используются интуиция и жизненный опыт учащихся. Изучение этого материала проводится на различных рисунках, как готовых, так и выполненных учащимися.

Подготовительный этап в изучении взаимного расположения прямых на плоскости играет важную роль в обогащении жизненного опыта учащихся, в накоплении необходимого наглядного материала, который может служить хо­рошей базой для успешного систематического изучения этих вопросов на по­следующем этапе обучения.

На этой ступени обучения учащиеся должны знать:

1. что две пересекающиеся прямые имеют только одну общую точку, и уметь изобразить пересекающиеся прямые с помощью линейки;

2. что две перпендикулярные прямые являются пересекающимися, и уметь построить такие прямые с помощью линейки и угольника, линейки и транспортира;

190