II. Н.Я. Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В.И. Жохов «Матема­тика - 5» (М., 2000) и «Математика - 6» (М., 2002) /

4. Методика изучения натуральных чисел

В математике имеются различные теории построения каждого множества чисел. Для построения арифметики натуральных чисел используется обычно аксиоматический подход, например, основанный на системе аксиом Пеано. Из­вестно и другое построение арифметики натуральных чисел, связанное с име­нем Кантора, основанное на теории множеств и, в частности, на понятии мощ­ности любого множества.

В школьном курсе математики изучение арифметики натуральных чисел опирается, прежде всего, на наглядность. Однако основой изложения этого ма­териала в учебниках и на уроках является ясное и последовательное логическое строение его. Причем обучение арифметике натуральных чисел исходит из са­мостоятельного происхождения этих чисел из счета предметов. Формирование понятия натурального числа начинается в начальной школе.

В 5 классе проводится систематизация и расширение сведений о нату- ральном числе, полученных в начальной школе. Изучение натуральных чисел здесь связано с формированием таких важных для математики понятий, как «координатный луч», «уравнение» и «неравенство».

При этом учащиеся должны твердо усвоить, что любое натуральное чис­ло может быть изображено точкой на координатном луче, причем каждому натуральному числу соответствует единственная точка на координатном луче, по не каждой точке координатного луча соответствует натуральное число. На этот момент важно обратить особое внимание, так как это готовит к

И

Символически эта схема выглядит так: ((N+₀ с Q₊₀) и Q.) cQ cR.

Логический путь неприемлем, так как учащиеся младших классов не в состоянии сознательно отнестись к идее расширения множества чисел, исходя из задачи сделать выполнимой операцию вычитания и деления, за исключением деления на нуль. Этот путь доступен лишь старшеклассникам.

Первое расширение понятия числа, с которым встречаются ученики, за­ключается в присоединении к натуральным числам нуля (N+ <>)• С этим расши­рением понятия числа учащиеся встречаются в начальной школе.

На этой ступени обучения важно добиться того, чтобы учащиеся считали нуль числом (на нуль можно умножать, с нулем можно выполнять операции сложения и вычитания). Если раньше нуль обозначал отсутствие единиц соот­ветствующего разряда, то теперь он выступает как результат операции над на­туральными числами.

В практике отечественной школы существовали различные пути после­дующего расширения понятия числа:

1. После изучения множества N+ ₀ вводилось понятие неотрицательного ра­ционального числа (Q+ ₀). После изучения неотрицательных рациональных чисел рассматривались отрицательные числа (Q_), при этом сначала изучались операции над обыкновенными дробями, затем над десятичными. Недостатком этой после­довательности является «отдаление» десятичных дробей от натуральных чисел.

2. Первый проект новых программ (1967 г.) предусматривал изучение от­рицательных чисел сразу же после изучения темы «Натуральные числа и нуль», после этого - изучение дробей (положительных и отрицательных). Такая схема обосновывалась возможностью быстрее перейти к решению уравнений на ос­новании их свойств. Однако эксперименты показали, что уровень логического развития учащихся на этом этапе недостаточен для сознательного усвоения вводимых понятий и использования их.

В последнем проекте новых программ (1968 г.) предлагалась следующая последовательность, которая была реализована в учебниках математики для 4-5 классов под редакцией проф. А.И. Маркушсвича.

В пробных учебниках математики содержались в это время и другие ва-

Ю