Следует обратить внимание учащихся на то, что разность векторов а и b можно найти, не прибегая к сложению векторов а и (-А). Можно соста­вить с учащимися алгоритм нахождения разности векторов а и Ъ :

1. отложить векторы а и Ъ от одной точки;

2. построить вектор, начало, которого совпадает с концом вектора Ъ, а конец совпадает с концом вектора а;

3. построенный вектор - искомый а - Ъ .

II. Умножение вектора на число

1. Учебник геометрии а. В. Погорелова.

Произведением вектора а{а\\ яг) на число Л называется вектор с коор­динатами Ла\, Хаъ

Затем выполняются упражнения на построение произведения вектора на число:

1. Постройте произведение вектора О А (4; 5) на число а) 2; б) -3; в) 0; г) 5; д)-1,5.

В процессе выполнения упражнений такого типа учащиеся могут заме­тить, что векторы О А и Л О А лежат на одной прямой и направления их совпа­дают, если Л > 0 и противоположны, если Л < 0.

Полезны упражнения на распознавание среди множества векторов таких, которые являются произведением данного вектора на некоторое число.

2. Среди векторов а(3; 5), А (-2; -10), с(0; 1), d (-2; 4), е(3; 6) указать такие, которые являются произведением вектора т (1; 2) на некоторое число.

Координатное определение произведения вектора на число позволяет легко обосновать все свойства умножения вектора на число. Однако оно не дает способа построения произведения данного вектора на заданное число. Возника­ет проблема отыскания такого способа. Приведенное нами первое упражнение позволяет ознакомить учащихся с тем, что длина вектора Ха равна \Л\ \а\. На­правление Ла [а ф б) совпадает с направлением а, если Л > 0 и противополож­но направлению вектора 5, если Л < 0. Упражнение будет способствовать и «открытию» доказательства этой теоремы. Теорема, в свою очередь, мотивиру­ет введение понятие коллинеарных векторов.

2. Учебник геометрии j1. С. Атанасяна и Др.

В данном учебнике произведением ненулевого вектора а на число к назы­вают такой вектор Ъ , длина которого равна \к\ \а\, причем векторы а и Ъ сонаправлены при к >0 и противоположно направлены при к < 0. Произведени­ем нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор. Свойства умно­жения вектора на число в этом учебнике не доказываются.

Изучение новой операции над векторами - умножения вектора на число - можно начать со следующих заданий.

226

1. Построить вектор, представляющий сумму

АВ = а + a; CD = а + а + а.

В процессе выполнения этого задания выяснить с учащимися следующее:

а) Данный и построенный векторы являются сонаправленными.

б) Длина построенного вектора | АВ | (или | CD |) равна произведению длины данного вектора а на число 2 (на число 3). Результат операции выразить и записи:

АВ =2-a; CD =3 • 5.

2. Рассматривая задачу построения вектора, противоположного данному нектору b , нетрудно мотивировать учащимся, что вектор -Ъ целесообразно рас­сматривать как произведение вектора Ь на число (- 1), т. е. -Ь = (- 1) • Ь .

После этого можно перейти к рассмотрению новой задачи.

Дан вектор с. Построить вектор MN - - с - с = - с + (~ с).

В беседе с учащимися следует выяснить, что:

а) вектор с и вектор MN - противоположно направленные векторы;

б) длина вектора MN равна произведению длины вектора с на число (-2), то in-11> | MN | = |- 2| ■ | с |. Результат операции выразить в записи: MN = - 2 с.

Полезно обратить внимание учащихся на то, что запись 2 • АВ не соот- нотствует порядку, принятому в словесной формулировке этой операции (век- юр умножается на число, в записи же числовой множитель принято ставить t*пена). Можно привести аналогичную запись в курсе алгебры: а + а ~ 2а; такая шпись оказывается удобнее, чем запись вида а * 2.

После этого можно дать определение произведения вектора а на число к и рмесмотреть равенство \ка\ = Щ \а\, являющееся следствием этого определения.

Вытекающие отсюда равенства 0*а = 0и £‘0=0 следует рассмотреть цпальпее.

1. Если | к | = 0, то правая часть равенства \ka\- \к\ |й| обращается в нуль, ка­ком бы ни был вектор а : 0 • | а \ = 0. Но тогда векгор к • а имеет длину, равную ну-

ни> |к а | = 0, то есть является нулевым вектором; поэтому при j к | = 0 0 • а = 0 .

Необходимо обратить внимание учащихся на то, что в правой части послед- IK'го равенства записано не число 0, а нулевой вектор, так как произведением век- юра па любое число является вектор.

2. Если а = 0 , то | а | = 10 | = 0.

Поэтому правая часть равенства \ ка \ = ]&| \а\ и в этом случае обращается в Iiv и»*, каково бы ни было число к: | к | • 0 = 0.

Таким образом, к - а ив этом случае имеет длину, равную нулю, то есть

ииииется нулевым вектором. Поэтому при а - 0 к ‘ 0=0.

11ри изучении сложения векторов, вычитания векторов и умножения век- юр:! па число следует выполнять упражнения не только на нахождение суммы, рмшости векторов, произведения вектора на число, но и на представление век-

227