-1 + /5

. Решением второй

системы является промежуток х < 0. Объединяя оба решения, получаем от-

. -l + Vs

вет: х < ——-—.

2

В) Решим неравенство д/l - х < х.

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

f 1 - х > 0,

* X < х².

• 1 + л[5 . ₁

Решая данную систему, находим: — <х < I.

Ответ:

-lH-Vs

<х< I.

Укажем недостатки алгебраического метода решения. При решении урав- нения д/l — х = х учащиеся, найдяХ\ их₂, забывают сравнить их значения с ОДЗ. Решая неравенство д/l-х > х, они испытывают трудности в составлении сис- тем неравенств. Составив первую систему, часто забывают о второй системе. Ошибки возникают и при решении систем.

2. Графический метод

Построим в одной системе координат графики функций^ = д/ 1-х и ^2 = * (рис. 18).

А) На геометрическом языке решить уравнение д/l - х = х - это значит, найти абсциссы точек пересе- чения графиков указанных функций или установить, что таких точек нет.

Как видим из рисунка, корень уравнения единственный и он лежит в интервале (0; 1). Можно найти его приближённо по рисунку, если не требуется большой точности, или найти его аналитически, решив урав- нение 1 - х = х², то есть х² + х - 1 = 0. Решение дает два корня:

_-l + Vs -1 - т/5.

Xi ~ —, х₂ = —-.

2 2

Так как х₂ < 0 и не принадлежит интервалу (0; 1), то это посторонний корень. Как он получается, можно показать учащимся на рисунке. Прямая у₂ = х пере­секается с графиком функции уз~ - д/l - х в точке с абсциссой х₂ (график функ­ции^ на рис. изображен пунктиром).

Б-В) Для решения неравенства д/l- х >х (_Л/1 -~х: <х) замечаем, что

91

Рис. 20

ложен ниже графика функции у\ =^ х - 2 + 3, это значит, функция ух не может принимать значения, большие значений функции^? поэтому данное неравенст­во не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Как видим, графический метод сопровождается здесь рассуждениями, обоснованиями своих выводов, сделанных на основе рисунка, что положительно сказывается на развитии мышления учащихся и предупреждает формализм, при­сущий иногда алгебраическому методу решения подобных неравенств.

Рассмотрим пример иррационального неравенства, содержащего корень третьей степени.

Пример 17. Решить неравенство \j х² + 8 >2-х.

Решение./. Алгебраический метод

1. ОДЗ: х-любое.

2. Возведем в куб обе части неравенства и преобразуем его:

х² + 8 > 8 - 12х + 6х² - х³, х³ - 5х²+ 12х > 0, х(х² - 5х + 12) > 0.

3. Разложим на множители квадратный трехчлен х² - 5х + 12. Для этого решим уравнение х² - 5х + 12 = 0. Дискриминант уравнения Д = 25 - 48 = -23, -23

• 0, значит, трехчлен х² - 5х + 12 > 0 при любом значении х (ветви параболы нааправлены вверх, и она не пересекается с осью ОХ).

4. Так как х² — 5х + 12 > 0 при любом х, то решением неравенства

х(х² - 5х + 12) > 0 будет промежуток х > 0.

О т в е т: х > 0.

92

-X.

Графиком первой функции являет- ся кривая, симметричная относительно оси OY, с вершиной в точке (0; 2). Гра- фиком второй функции является прямая, проходящая через точку (0; 2).

2. Из рисунка видно, что график функции у\ расположен выше прямой у₂ ~ 2 — х при х>0 .

Отв ет:х>0.

Интеграция алгебраического и геометрического (графического) мето-

дов особенно необходима при решении иррациональных уравнений и нера- венств с параметром. Здесь она часто выступает в виде единства, слияния данных: методов в одном методе. Приведем пример.

Пример 18. Решить неравенство х - ^ а-х² > 1.

Решение. Графический метод

1. Преобразуем данное неравенство к виду х - 1 > у[а- х² .

2. Построим в одной системе координат графики функций: у\=х- 1 и

У2 =

=

х². Графиком первой функции является прямая, графиком второй

функции - полуокружность (рас­положенная в верхней полуплоско­сти) с центром в точке х = 0 и ра­диусом Ja (рис. 22).

Очень важно построить на одном и том же чертеже график у₂ при различных значениях пара­метра а. Тогда легко заметить, что графики у\ и у₂ пересекаются, т.е. данное уравнение имеет действи­тельное решение х₀, если а> 1.

Если а~ 1, то решение х₀ = 1 и оно единственно.

Если а > 1, решение уравне­ния также единственно и оно лежит в интервале (1; Ja).

Решением данного неравенства являются те значения х, при которых гра­фик функции ух (прямая) лежит выше графика функции у₂ (полуокружности). Рисунок показывает, что х₀ < х < .

Решив уравнение

получаем два корня: Х\ = , я₂ = — . х₂ - посторонний ко-

\ + ^2a-l _ l-^2a-l

2. ^,Х2 2

рень, так как он не входит в интервал (1; /я). Итак, решением данного нера венства является промежуток [-⁺- —-,-у[а]. Следует заметить, что с уве­личением а он увеличивается.

Графический метод в данном случае содержит в себе и элементы ана­литического метода (решение уравнения). Он требует от учащихся более вы­сокого уровня образного мышления, умение представить графическую мо­дель в динамике в зависимости от изменений параметра а.

Ещё большую эффективность графический метод имеет при решении уравнений и неравенств, содержащих модуль. Рассмотрим этот вопрос подробнее.

6. 4 Уравнения и неравенства, содержащие модуль

В школьном курсе математики часто встречаются уравнения и неравенст­ва, содержащие переменную под знаком абсолютной величины (под знаком мо­дуля). Для решения таких уравнений и неравенств необходимо разбить число­вую ось на отдельные промежутки так, чтобы на каждом из них можно было записать уравнение (неравенство), не используя знака абсолютной величины.

Аналитический метод решения уравнений и неравенств, содержащих модуль, требует часто утомительных рассмотрений уравнения или неравен­ства на интервалах знакопостоянства функций, стоящих под знаком модуля. Причем, полученный на каждом интервале результат необходимо постоянно проверять, входит он в заданный интервал или нет (что часто забывают де­лать учащиеся). Поэтому наиболее эффективен при решении подобных урав­нений и неравенств графический метод. Обучение при этом целесообразно вести одновременно аналитическому и графическому методам, что позволит проводить их сравнение, выбор среди них наиболее рационального. Графиче­ский метод будет способствовать к тому же осознанию и осмыслению реше­ний уравнения (неравенства), полученных аналитическим путем.

Начинать обучение следует с решения простейших уравнений и нера­венств, содержащих модули, предварительно познакомив учащихся с по­строением графиков функций у = \ х \, у = \ fa + b \, у = \ ах² + Ьх + с \ и др.

Рассмотрим примеры.

Пример 19. Решить уравнение | Зх + 21 = 1.

Решение./. Алгебраический метод

1. Приравняем к нулю выражение, стоящее под знаком модуля:

Зх + 2 = 0, откудах =

2. 2

2. Разобьем всю числовую ось на два промежутка (-оо;--)и(--;+оо).

94