{x-x_xf + (y-y_xf =(х-х_г)² +{y-y₂f (2)

б) Если же точка M не лежит на прямой /, то AM ВМ¹, и, значит, ко­ординаты точки М удовлетворяют уравнению (2).

Следовательно, уравнение (2) является уравнением прямой / в заданной системе координат.

11осле преобразований уравнение (2) принимает вид:

ах + by + с — 0.

После вывода уравнения прямой необходимо выяснить ее расположение и и плоскости в зависимости от значений, которые могут принимать коэффици- еи и»! а, в, с (рис. 88 а-в).

Рис. 88

Гели а = 0, Ъ ф 0, то прямая параллельна оси абсцисс.

Мели а * 0, Ъ = 0, то прямая параллельна оси ординат.

Гели с = 0, то прямая проходит через начало координат и лежит в I и III •н* I пор тих, если к > 0, и во II и IV четвертях, если к < 0.

4. Особенности применения метода координат

( разу же после рассмотрения основных понятий, связанных с введением координат на плоскости и уравнений окружности и прямой, с учащимися изу­чаются такие вопросы, как: пересечение двух окружностей, пересечение пря­мой и окружности, определение синуса, косинуса и тангенса угла от 0° до 180°.

М<> первые приложения метода координат, с которыми знакомятся учащиеся (ко учебнику А. В. Погорелова).

С’.подует сразу обратить внимание учащихся на то, что основную роль в ной рос ах приложений метода координат занимает рациональный (оптималь­ный) иыбор расположения осей координат.

Гели выбирать систему координат случайно, то можно легкую задачу пре- »*| »и I hi I. и очень трудную.

Рассмотрим теорему: «Середина гипотенузы прямоугольного треугольника jswtu >v<hne/ia от его вершин». Докажем ее методом координат.

241

Первым шагом при использовании метода координат является оптималь­ный выбор осей и начала координат (то есть такой, при котором алгебраические выкладки становятся более простыми).

а) б)

Рис. 89 Рис. 90

На рисунке 89 показан самый оптимальный выбор прямоугольной систе­мы координат для решения данной задачи. Удачный выбор системы координат можно выбрать и по-другому (рис. 90 а-б).

На рис. 91 показан неоптимальный выбор прямоугольной системы коор­динат. Здесь сначала нужно найти способ, позволяющий выразить алгебраиче­ски тот факт, что треугольник ABC имеет при вершине А прямой угол.

Если дан параллелограмм, то удобно выбирать прямоугольную систему координат, как показано на рис. 92,

Необходимы специальные упражнения, формирующие умение выби­рать систему координат. Таких упражнений в учебниках почти нет. Приве­дем примеры.

1. Длина отрезка АВ равна 5 см:

а) выберите систему координат, в которой можно было бы наиболее про­сто определить координаты концов отрезка;

б) выберите систему координат так, чтобы координаты концов отрезка были бы: А(-2,5; 0), £ (2,5; 0).

2. Длины сторон треугольника ABC равны 3, 4 и 5 см. Выберите систему координат и определите в ней координаты вершин треугольника ABC.

242

5. Методика формирования координатного метода решения задач

11онятийный аппарат координатного метода (для декартовой системы ко- ординат) включает следующие понятия:

1. Абсцисса (от лат. abscissus - отрезанный, отсеченный) - отрезок, отсе­каемый на оси ОХ.

2. Ордината (от лат. ordinatus ~ упорядоченный) - одна из декартовых ко­ординат точки, обычно вторая, обозначаемая буквой у. Первоначально была кмп.ко одна ось и ординатами были отрезки, параллельные друг другу и перпен- /шкулярпые оси, то есть в каждой абсциссе строился свой перпендикуляр.

3. Координаты (точки) - числа, взятые в определенном порядке и ха­рактеризующие положение точки на линии, на плоскости, на поверхности или в пространстве.

4. Координатная прямая - прямая, на которой указан способ изображе­нии действительных чисел.

5. Координатная плоскость - плоскость с введенной на ней системой ко­ординат; х = 0, у = 0 - оси координат; х = const, у = const - координатные линии.

6. Координатный метод ~ способ определения положения точки (на примой, плоскости, в пространстве) с помощью чисел. Используя координат- иыИ метод, алгебраические уравнения можно истолковать в виде геометриче­ских образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью аналитических формул (уравнений и их систем).

Компоненты координатного метода (то есть действия, адекватные ко­ординатному методу).

• построение точки по её координатам;

• нахождение координат заданных точек;

• вычисление расстояния между точками, заданными своими координатами;

• оптимальный выбор прямоугольной системы координат; составление уравнения фигуры по её характеристическому свойству;

• видение за уравнением конкретного геометрического образа;

• преобразование алгебраических равенств.

’ )ти действия и определяют необходимую совокупность знаний, умений и ииимкои координатного метода решения задач.

)пнты решения геометрической задачи координатным методом

I ’nnajh Оптимальный выбор прямоугольной системы координат.

// ттп. Перевод задачи на координатный язык.

Ill man. Выполнение преобразований полученного в координатной фор- мр иырнжения (решение задачи на координатном языке).

^ ШЙ1L Перевод (и осмысление) полученного результата с координатно- I о и ника па тот язык, на котором была сформулирована задача.

I (ринедем пример.

Задача. В треугольнике ABC АВ = 4, АС = 6, ZА - 60°. Найти медиану,

*. ч h 'нную из вершины А (рис, 93).

243