О ЛГЛГ к ВС + ВС ВС(к + \) д nr r>f~l

Значит, MN = = ~—-. Отсюда следует, что М/v и В С

2. 2

сонаправлены, а значит, и коллинеарны.

3. этап (перевод полученного ответа с векторного языка на геомет­рический).

Если MN и ВС коллинеарны, то MN \\ВС, а так kzlkAD || #С, то

MN || ADvl MN= ^{AD + ПС} .

11. 2

При решении данной задачи были задействованы следующие умения:

1. переводить геометрические термины на векторный язык и наоборот;

2. выполнять операции над векторами;

3. представлять вектор в виде произведения вектора на число;

4. выполнять преобразования векторных равенств.

Эти умения и их совокупности должны формироваться с помощью спе­циальных упражнений. Группы таких упражнений на формирование каждого действия приведены в учебном пособии Г. И. Саранцева «Методика препода­на и ия геометрии в девятилетней школе» (Саранск, 1992).

Приведем примеры упражнений из каждой группы.

I. Упражнения, в которых осуществляется перевод геометрических терминов на язык векторов и наоборот.

1. Отрезки АВ и CD параллельны. Напишите это соотношение в вектор­ной форме.

2. Точка С принадлежит отрезку АВ, причем АС : СВ — т:п. Что означает по на векторном языке?

3. Известно, что CD = а АВ. Каково геометрическое толкование этого равенства.

4. Известно, что АВ + ВС = О. Как расположены точки А, В, С?

IL Упражнения на операции с векторами.

5. Дан вектор АВ . Постройте векторы 2 АВ; АВ .

6. ABCD - параллелограмм, О-AC nBD. Изобразите векторы: а) АО + СВ; б) АО - DC; в) OD + АВ; г) AD - ВС.

Упражнение 6 выполняется мысленно, не осуществляя при этом непосред­ственных построений. Такие упражнения важны, так как применение векторов в конкретных ситуациях чаще требует именно этого.

///. Упражнения на представление вектора в виде суммы (разности шчшоров, произведения вектора на число).

1. Дан многоугольник abcde. Представьте ad в виде суммы: а) двух; б) I рёх; в) четырех векторов, заданных вершинами этого многоугольника.

8. Представьте вектор ав в виде суммы векторов ас, dc , bd .

_ _ \CL\_

8. Вектор cDколлинеарен вектору ав и Выразите один век-

231

тор через другой.

IV. Упражнения на переход от соотношения между векторами к со­отношению между их длинами и наоборот.

10. В каком случае | ОА - OB | = | ОА | -1ОВ | ?

11. Может ли | АВ + ВС | = | АВ - ВС | ?

12. Векторы ВС, AD, MN коллинеарны. Каково соотношение между длиной векторов MN и суммой длин векторов BCvl AD , если

Ш=^(ВС + AD).

V Упражнения на преобразование векторных равенств,

10. Упростите выражения: а) АВ + MN + ВС + СА + PQ + NM; б) ОР- ЁР+ KD- КА.

11. Упростите выражение (а + Ъ - с) (а- b + с), если вектор Ь перпен­дикулярен вектору с .

12. Четырехугольник abcd - квадрат. Упростите выражение { ав - 3 вс)2,

VI. Упражнения на нахождение длины вектора и величины угла меж­ду векторами.

10. Известно, что с = а + b ,(а₉Ь) = 30°, | а | = 5 см, | Ь | = 3 см. Найди­те | с |.

11. Известно, что векторы а + 2Ъ и 5а -4Ъ взаимно перпендикулярны. Какой угол образуют векторы а я Ъ , если | а | = | Ъ | = 1?

В процессе выполнения этих упражнений вырабатываются критерии ис­пользования векторов для доказательства различных зависимостей. Векторы эффективны при доказательстве: а) параллельности прямых и отрезков; б) принадлежности трёх точек одной прямой; в) перпендикулярности прямых и отрезков и т. д.

Для того чтобы учащиеся научились решать задачи векторным мето­дом, необходимо, прежде всего, научить их решать опорные задачи, при ре­шении которых непосредственно используются эвристики, представленные в таблице 15.

Историческая справка

Считается, что вектор как самостоятельный объект появился в 40-е гг. XIX в., хотя действия с отрезками выполнялись и ранее. Так, представление величин отрезками имело место уже в древнегреческой математике. В «Началах» Евклида изложены основы древне­греческого геометрического исчисления. Сложение величин сводилось к сложению отрезков, умножение величин - к построению прямоугольника на соответствующих отрезках, деление - к операции «приложения» геометрических фигур. Также ненаправленными отрезками опе­рировал Декарт. Но уже немецким ученым Г. Лейбницем была выдвинута идея построения векторного исчисления, близкого к современному. В XVI - XVII вв. Леонардо да Винчи, Галилео Галилей, Иоганн Кеплер пользовались направленными отрезками для на­глядного представления сил в физике и астрономии. Так поступал и Симон Стевин, который, изучая равновесие тел на наклонной плоскости, дошел до разложения силы на составляющие

232

и открыл закон параллелограмма сил. Однако в рассматриваемую эпоху в естествознании еще не оформилось четко понятие векторной величины, а идея алгебраических действий с направленными отрезками лишь зарождалась. Развитие настоящего векторного исчисления относится к XIX в.

Г. И. Глейзер в работе [5] выделил три направления развития векторного исчисления: геометрическое (исчисление отрезков), физическое (исследование векторных величин, встре­чающихся в естествознании), алгебраическое (расширение понятия операции при создании современной алгебры). Развитие первого направления связано с именем Каспара Весселя (Нор­ма'ия). Векторная алгебра на плоскости (двумерное векторное пространство) построена им почти так же, как она излагается в современных учебниках. Отрезки, имеющие любое направ­ив же, были введены JI. Карно (Франция, 1803), он же занимался и действиями с направлен­ными отрезками, позже его идеи были систематизированы немецким математиком А. Мебиу­сом. У Карно отсутствует систематическое исчисление направленных отрезков, содержащееся у Вссселя. Однако главный труд последнего «Опыт об аналитическом представлении направ­ит ия и его применениях» не оказал никакого влияния на развитие векторного исчисления, так кик на протяжении целого столетия ученые не обращали на него внимания, в то время как по­ни гис геометрического количества Карно, под которым он понимал в основном направленный о I резок, стали употреблять передовые математики уже в самом начале XIX в. Некоторые вве- асчшыс Карно термины и символы, в частности обозначение вектора с помощью черты навер­чу ( А В, С), сохранились и в наши дни.

Наиболее значительный вклад в развитие векторного исчисления внес ирландский математик У. Гамильтон в связи с изложением теории комплексных чисел и учения о ква- к-рн ионах (1853). Именно Гамильтон стал применять понятия «вектор», «скаляр» (от латин­ского skala - лестница; подобно ступенькам лестницы можно упорядочить действительные числа, вводя понятия «больше» и «меньше», но не комплексные числа, не векторы), «ска­лярное произведение», «векторное произведение». Независимо от Гамильтона к аналогич­ным результатам пришел и немецкий ученый Г. Грассман. В 1844 г. в работе «Учение о про- 1ИЖСШгости» он впервые излагает учение об «-мерном евклидовом пространстве. Вместо к*рминов «скалярное произведение», «векторное произведение» он использует соответст­вию «внутреннее» и «внешнее». Векторы Грассман обозначал жирными буквами латинско- ю алфавита. Принятое сейчас обозначение вектора г ввел в 1853 г. О. Коши, а единичные иск горы i,j, к в том же году Гамильтон.

Систематически применял векторное исчисление для потребностей естествознания Л ж Максвелл, а современный вид векторному исчислению придали в конце XIX в. амери­канский физик Дж. Гиббс и английский физик О. Хевисайд.

Систематическое изучение векторов и координат в курсе геометрии основной школы началось в последней трети XX в. в учебниках А. Н. Колмогорова. Изложение учебного ма- юриала осуществлялось в них на основе идеи геометрических преобразований, поэтому век- юр «водился как параллельный перенос, координатный метод в основной школе не изучался (миодились только координаты вектора), этот вопрос подробно рассматривался в старшей школе (в учебниках 3. А. Скопеца).

Вопросы и задания

1. Как трактуется вектор в математике?

2. Как определяют понятие «равные векторы» авторы школьных учеб- ми кон геометрии? Опишите методику введения понятия равных векторов.

11|ж недите примеры на усвоение этого понятия.

3. Как познакомить учащихся с понятием координат вектора?

4. Сформулируйте признак равенства векторов (в разных формах:

233