Ъ
3 1 3 1
Xq
=
__= -}у0
= f(xo)
=
значит, точка (-; --) является вершиной
параболы,
а прямая х = ^ - осью параболы.
Для
второй функции_у2
=
2х-х2,
то естьу2~-х2
+
2х, имеем:
х0
= 1,
уо
= f(xo)
=
1,
значит, точка (1;
1)
2а
является
вершиной параболы, а прямая х = 1
-
осью параболы. Затем осуществляем
построе-
ние графиков функций (рис.
9). Абсциссы то-
чек пересечения
графиков дают корни исход-
1
0
ного
уравнения: х\
= -, х2
= 2.
Используя
рисунок, решаем неравенет-
ва: х2
- Зх + 2 > 2х “X2
их2
- Зх + 2
< 2х
-х2.
Решить
первое (второе) неравенство - на
рис<
9 геометрическом
языке означает, найти те зна-
чения
х, при которых график функции^ расположен
выше
(ниже) графика
функции^. Из рисунка получаем ответ: х
< 0,5, х> 2 (0,5 <х<2).
В
приведенных примерах интеграция
алгебраического и геометрического
методов преследует цель, показать
учащимся графическую интерпретацию
решения квадратного уравнения в
случае, если оно имеет два корня (парабола
пересекает ось ОХ
в двух точках), один корень (парабола
имеет с осью ОХ
одну общую точку, т.е. касается её), не
имеет корней (парабола не пересекает
ось ОХ).
Аналогично,
дается графическая интерпретация
решения квадратных неравенств,
соответствующих данному квадратному
уравнению, что приводит к укрупнению
дидактических единиц (квадратные
уравнения и неравенства рассматриваются
одновременно). В ходе решения осуществляется
постоянный перевод информации с
алгебраического языка на геометрический
и обратно, что влияет на развитие
как понятийно-логического, так и
эмоционально - образного типов мышления.
В
результате сопоставления выполняемых
алгебраических и геометрических
действий осуществляется контроль за
ходом решения, а также прогнозирование
некоторых результатов.
В
восьмом классе после изучения квадратных
уравнений программой предусмотрено
знакомство учащихся с решением простейших
систем, содержащих уравнение второй
степени. Однако в учебниках приводится
только алгебраический метод их решения
(способ подстановки и способ сложения),
хотя решения многих таких систем имеют
наглядную геометрическую интерпретацию,
а в некоторых случаях (особенно когда
в системе оба уравне-
79
Системы уравнений с двумя переменными, в которых одно или оба уравнения второй степени
ния
второй степени) аналитический метод
недоступен школьникам, он при-
водит
к решению кубического уравнения, и
тогда графический метод являет-
ся
единственно возможным для решения
данной системы.
Поэтому
в процессе обучения решению указанных
систем уравнений
целесообразно
рассматривать параллельно алгебраический
и графический
методы решения,
сравнивать их, выбирать наиболее
рациональный из них.
Следует
рассмотреть с учащимися разные случаи,
когда система уравнений
имеет одно
решение, два или более решений, не имеет
решений, когда систему
трудно (или
даже невозможно) решить аналитически
и др. Для решения систе-
мы алгебраическим
и графическим методами используем
алгоритм, анало-
гичный алгоритму
решения системы двух линейных уравнений
с двумя пе-
ременными. Приведем
примеры.
Пример
7. Решить систему уравнений:
Гх2~^
= 8,
[х
—у
= 2.
Решение./,
Алгебраический
метод (способ подстановки)
Выразим;/
через х из второго уравнения системы:
у
= х-
2.
Подставим
найденное выражение вместо у
в первое уравнение системы:
х2-(х-1)
= 8.
Решим
полученное уравнение:
х2-х
+
2-8
= 0,
х2-х
- 6
= 0,
откуда х\
= 3; х2
= -2.
Подставим
найденные значения х в формулу>> =
х - 2:
уг
=
3 - 2 = 1,д>2
= -2 -2 = -4.
Пары
(3; 1) и (-2; -4) являются решениями данной
системы уравнений.
Ответ:
(3; 1), (-2; -4).
П.
Графический метод
Из
каждого уравнения системы
fy
= x2-8,
1у
=
х - 2.
выразим^
через х:
Построим
в одной системе ко-
ординат графики
первого и второго
уравнений системы
I рафиком первого
уравнения является
парабола, а второго
прямая.
Для построения параболы
найдем
координаты её вершины - это
точка
(0;
-8),
и координаты точки пе-
ресечения с
осью абсцисс, для этого
решим
уравнение: х2
- 8
= 0,
откуда
х1
=
-2лД,х2
= 2л/2.
Осью
симметрии
параболы
является ось ординат. Можно
Рис.
10
80
