Р івень в
94. Біля будинку стоять дві бочки, місткість кожної з яких дорівнює 100 л. У першій бочці є 20 л дощової води, а в другій 15 л. Пішов дощ, і щохвилини в першу бочку вливається 2 л води, а в другу 2,5 л. Через скільки хвилин води в бочках буде порівну? Знайдіть два варіанти відповіді.
95. За легендою, Піфагор на запитання про число учнів, що відвідують його школу, відповів так: «Половина учнів вивчає математику, чверть музику, сьома частина перебуває в мовчанні і, крім того, є ще три жінки». Скільки учнів було в Піфагора?
96. Зелена маса для силосу повинна мати певну вологість. Щоб вийшла така маса, змішують у певному співвідношенні рослини з різним вмістом води. Скільки потрібно взяти зеленої маси з вологістю 85% і маси з вологістю 35%, щоб одержати 1 т маси з вологістю 75%?
97. У двох бідонах є 70 л молока. Коли 12,5% молока, що було в першому бідоні, перелили у другий, то в обох бідонах молока стало порівну. Скільки літрів молока було в кожному бідоні спочатку?
98. Сплав міді, цинку й олова містить 32% олова, а міді на 40 г менше, ніж олова. Відомо також, що цинку в сплаві на 100 г більше, ніж міді. Знайдіть масу сплаву.
99. У процесі очищення руди кількість домішок у ній зменшується від 20% у добутій руді до 5% в очищеній. Скільки потрібно взяти добутої руди, щоб одержати 32 т очищеної?
Вправи для повторення
100. Запишіть:
а) суму числа m і числа, протилежного числу n;
б) різницю числа s і числа, протилежного числу t;
в) добуток найбільшого від’ємного цілого числа і суми чисел а та b.
101. До частки чисел 1,8 і –1,3 додайте добуток чисел 4,8 і –1,05.
102. Знайдіть значення виразу 2x2 4y2, якщо х дорівнює найменшому цілому числу, яке задовольняє нерівність 5,4 < x < 2,7, а y найбільшому цілому числу, яке задовольняє нерівність 15,4 у 2.
103. Поставте замість зірочок такі цифри, щоб число:
а) 1* 48 ділилося на 9; б) 3* 4* ділилося на 3 і на 5.
104. Розкрийте дужки і зведіть подібні доданки:
а) х (х 1) + (х + 1); б) 2(1,5а 2(а 1,5));
в) 2(a + 2b + 3c) (a + 3b + 5c) – (a + b + c).
105. Оленка має фломастери шести кольорів. Скількома способами вона може написати число 2002 так, щоб різні цифри мали різний колір, а однакові цифри — однаковий колір?
Цікаво знати |
|
Протягом багатьох століть алгебра була наукою про рівняння та способи їх розв’язування. Лінійні рівняння вміли розв’язувати ще давні єгиптяни й вавилоняни (І тис. до н.е.).
Про стан математики в Давньому Єгипті можна дізнатися з математичних текстів, написаних на особливому папері — папірусі, виготовленому зі стебел рослини, яка має таку ж назву. Написання деяких папірусів відносять до XVIII ст. до н. е., хоча описані в них математичні факти були відомі давнім єгиптянам задовго до їх написання.
Один з таких папірусів був знайдений у 1872 році в одній з єгипетських пірамід. Його придбав англійський колекціонер предметів старовини Райнд і зараз цей папірус — папірус Райнда — зберігається в Лондоні.
У папірусі Райнда особливе місце
посідають задачі на «аха» («хау»).
Це
задачі, які розв’язуються за допомогою
лінійних рівнянь з одним невідомим.
«Аха» («хау») означає «сукупність»,
«купу» (невідому величину).
Приклад
такої задачі: «Купа. Її
,
її
,
її
і її ціле. Це 33». Якщо позначити «купу»
— невідому величину — через x,
то за цією задачею одержимо рівняння:
.
Більш помітні успіхи у створенні початків алгебри були досягнуті в Давньому Вавилоні. До нашого часу збереглися вавилонські глиняні плитки з комбінаціями клиновидних рисочок — клинописи. Ці плитки відігравали у Вавилоні таку ж роль, як папіруси в Єгипті. На плитках трапляються і клинописні математичні тексти, які свідчать, що уже близько 4000 років тому у Вавилоні могли розв’язувати рівняння, що містять квадрат невідомого. |
Діофант (ІІІ ст.), давньогрецький математик з Александрії |
Починаючи із VII ст. до н. е., давні греки, ознайомившись з досягненнями єгиптян і вавилонян в галузі математики, продовжили їх науку. Проте доволі мало грецьких вчених для розв’язання задач використовували рівняння. Одним із тих, хто використовував рівняння, був давньогрецький математик Діофант.
Про Діофанта відомо небагато, навіть точно не встановлено роки його життя. Дещо про його життя і про те, скільки він прожив років, можна судити з напису на його могильній плиті.
Напис на плиті |
Мовою алгебри |
|
Подорожній! Поховано тут Діофанта. І числа розкажуть тобі, Який довгий шлях він життєвий пройшов. |
x |
|
Шосту частину його життя становило веселе дитинство. |
|
|
Минула частина дванадцята — Й пухом покрилося його підборіддя. |
|
|
Сьому — в бездітному шлюбі прожив Діофант. |
|
|
Минуло п’ять літ. |
5 |
|
Ощасливлений він був народженням первістка-сина, Якому судилася лише половина життя його батька. |
|
|
І в глибокій журбі Старець закінчив свій шлях на Землі, Де прожив років чотири з часу, Коли сина не стало. |
4 |
|
Скажи: віку якого досягши, Славетний помер Діофант? |
x = + + + 5 + + 4. |
|
Грецьку науку в середні віки перейняли вчені Сходу — індійці та араби. Саме на Сході в IX ст. алгебра стає самостійною математичною наукою.
Походження слова «алгебра» також пов’язане зі Сходом.
Місто Багдад у VII–IX ст. було столицею могутнього Арабського халіфату. Багдадські халіфи сприяли розвитку природничих і математичних наук. За панування халіфа Гаруна ал-Рашида в Багдаді була заснована велика бібліотека, а халіф ал-Мамун організував своєрідну академію — «Будинок мудрості» й побудував добре обладнану обсерваторію.
При дворі ал-Мамуна жив і працював учений Мухаммед бен Муса ал-Хорезмі (близько 780 — близько 850). Він зібрав та систематизував способи розв’язування рівнянь й описав їх у роботі «Кітаб ал-джебр ал-мукабала», що дослівно означає «Книга про відновлення і протиставлення». У той час від’ємні числа вважались «несправжніми», і коли в процесі розв’язування рівняння в якійсь його частині з’являлось від’ємне число, його потрібно було перенести в іншу частину. Цю операцію називали відновленням (ал-джебр), тобто переведенням «несправжніх» (від’ємних) чисел у «справжні» (додатні). За допомогою протиставлення (ал-мукабала) відкидали однакові доданки в обох частинах рівняння. |
Мухаммед бен Муса ал-Хорезмі (IX ст.), арабський математик, астроном і географ. Уперше розглядає алгебру як самостійний розділ математики |
У XII ст. твір ал-Хорезмі переклали латинською мовою, зберігши в його назві лише слово «ал-джебр», яке згодом стали вимовляти як алгебра.
Поступово сформувалася сучасна алгебра, яка охоплює не тільки теорію розв’язування рівнянь, а й способи проведення операцій (дій) з різноманітними об’єктами (зокрема, із числами).