11. Додавання і віднімання многочленів
1. Додавання многочленів. Додамо многочлени 4а2 6а + 5 і 2а2 + 3а + 2:
(4а2 6а + 5) + (2а2 + 3а + 2) = 4а2 6а + 5 2а2 + 3а + 2 = 2а2 3а + 7.
Розкривши дужки, та звівши подібні доданки, ми записали суму даних многочленів у вигляді многочлена. Отже, сумою многочленів 4а2 6а + 5 і 2а2 + 3а + 2 є многочлен 2а2 3а + 7.
У такий же спосіб додають три й більше многочленів. Суму будь-яких многочленів завжди можна записати у вигляді многочлена.
2. Віднімання многочленів. Віднімемо від многочлена 4х2 4х + 7 многочлен 2х2 3х + 5:
(4х2 4х + 7) (2х2 3х + 5) = 4х2 4х + 7 2х2 + 3х 5 = 2х2 х + 2.
Розкривши дужки, та звівши подібні доданки, ми записали різницю даних многочленів у вигляді многочлена. Отже, різницею многочленів 4х2 4х + 7 і 2х2 3х + 5 є многочлен 2х2 х + 2.
Різницю будь-яких многочленів завжди можна записати у вигляді многочлена.
П риклади розв’язання вправ
Приклад 1. Знайти суму многочленів:
а) 5х2 + 2xy 4 і 4x2 6xy; б) 2a2b 2; 5a2b + 2а і 3a2b + 6а.
● а) (5х2 + 2xy 4) + (4x2 6xy) = 
=
=
.
б)
4a2b + 8а 2. ●
Приклад 2. Знайти різницю многочленів 5а2 1 + 4ab і 8a2 3ab.
● (5а2 1 + 4ab) (8a2 3ab) =
=
3a2 + 7аb 1. ●
Приклад 3. Розв’язати рівняння 4х3 2х (4х + 9 + 4х3) = 0.
● 4х3 2х 4х 9 4х3 = 0; 6х 9 = 0; 6х = 9; х = 1,5.
Відповідь. 1,5. ●
Приклад 4. Довести, що сума трьох послідовних непарних чисел ділиться на 3.
● Нехай із трьох послідовних непарних чисел найменшим є 2n + 1, де n деяке ціле число. Тоді наступні непарні числа 2n + 3 і 2n + 5. Сума цих трьох чисел
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 6n + 9
ділиться на 3, бо кожний доданок у сумі 6n + 9 ділиться на 3. ●
Усно
361. Знайдіть суму многочленів:
a) 2a2 а і а2 3a; б) 4х + 1 і х2 + 2х + 4.
362. Знайдіть різницю многочленів:
а) 5a2 + 4a і 4a2 + 2a; б) 5y2 + 4y + 4 і 4y2 + 4y.
Р івень а
363. Дано два многочлени: 3х2 + 2х 5 і 2х2 2х + 3. Запишіть та подайте у вигляді многочленів стандартного вигляду: а) суму цих многочленів; б) різницю першого і другого многочленів; в) різницю другого й першого многочленів.
364. Запишіть суму та різницю многочленів 6y2 4y + 3 і 5y2 + 6y 3. Подайте суму та різницю у вигляді многочленів стандартного вигляду.
Знайдіть суму многочленів:
365. a) 2a3 4a2 + а і а3 + 3a2 2a + 2; б) 5х + 2; х2 + 4х 3 і 3х2 4;
в) a2 2ab + b2 і a2 + 2ab + b2; г) 4xy - 6х; 2x - 6хy і - xy - x.
366. а) 3х4 + 5х2 - 5 і х4 3х2 + 4; б) -2b2 - 3; 3b2 + 2 і 2b2 + 1.
Знайдіть різницю многочленів:
367. а) 3с3 + 3с2 4с + 1 і 2с3 - 3с2 + с - 5;
б) 5х3 - 4х2 + 3х - 4 і 7х3 - 4х2 + 3х + 11;
в) 2а2 - 8а + 5 і 2а2 - 2а - 5;
г) а4 + 3а2 + 3 і 2а4 - 5 + 3а3.
368. а) 4х3 + 3х2 + х - 4 і 2х3 - х2 + 2х + 7;
б) -4m3 + 4m2 + m - 1 і -4m3 + 4m2 + m + 1;
в) 5a2 + 3a + 6 і 8a3 + 2а2 + 6.
369. Знайдіть суму та різницю многочленів:
а) а + b і а - b; б) а - b і b - a.
Спростіть вираз:
370. а) 4а (5a2 + 3a 2); б) 4,5аb + 3а + (2,6аb - 2,9);
в) (4т2 - 3m + n) (-5m + m2 - 3n); г) x2 + y - (2x2 y) - (-3x2 + y).
371. а) (-а + а2) - (3а2 2 + 2a); б) (7x3 - 4x) - (8x - 3x3) - (x3 + x).
Розв’яжіть рівняння:
372. а) 2x2 - 3x - (2x - 4 + 2x2) = 0; б) -х3 - 4 - (4х - х3 + 4) = 0.
373. а) 5х + х2 + 3 - (х + х2) = 0; б) 3x2 + 4x + 6 - (-6x + 3x2 2) = 0.