- •Алгебра Підручник для 7 класу
- •Юні друзі!
- •§ 1. Рівняння
- •1. Поняття рівняння
- •Приклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •2. Розв’язування рівнянь. Властивості рівнянь
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •3. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Підсумок
- •Д ля тих, хто хоче знати більше Рівняння з модулями
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •4. Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 1
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 2. Цілі вирази
- •5. Вирази зі змінними. Цілі вирази
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •6. Тотожно рівні вирази. Тотожності
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 2
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 3. Одночлени
- •7. Степінь з натуральним показником
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •8. Властивості степеня з натуральним показником
- •1. Множення степенів з однаковими основами.
- •2. Ділення степенів з однаковими основами.
- •3. Піднесення степеня до степеня.
- •4. Піднесення добутку до степеня.
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •9. Одночлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 3
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 4. Многочлени
- •10. Многочлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •11. Додавання і віднімання многочленів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •12. Множення одночлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •13. Множення многочлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •14. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •15. Розкладання многочленів на множники способом групування
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 4
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 5. Формули скороченого множенея
- •16. Множення різниці двох виразів на їх суму
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •17. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •18. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •19. Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата суми і квадрата різниці
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •20. Різниця і сума кубів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Рівень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •21. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •22. Застосування перетворень виразів
- •1. Порівняння значень многочлена з нулем.
- •2. Знаходження найбільшого і найменшого значень виразів.
- •3. Розв’язування задач на подільність.
- •4. Знаходження значень многочлена за допомогою мікрокалькулятора.
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 5
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 6. Функції
- •23. Функція. Способи задання функції
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •24. Графік функції. Функція як математична модель реальних процесів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •25. Лінійна функція
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 6
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •26. Рівняння із двома змінними
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •27. Графік лінійного рівняння із двома змінними
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •28. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними
- •1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.
- •2. Розв’язування систем лінійних рівнянь графічним способом.
- •П риклади розв’язання вправ
- •29. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •30. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом додавання
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •Вправи для повторення
- •31. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 7
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності До § 1. Лінійні рівняння з однією змінною
- •До § 2. Цілі вирази
- •До § 3. Одночлени
- •До § 4. Многочлени
- •До § 5. Формули скороченого множення
- •До § 6. Функції
- •До § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Логічні задачі
- •Вітчизняні математики
- •Відомості з курсу математики 5–6 класів Подільність натуральних чисел
- •Найбільший спільний дільник
- •Найменше спільне кратне
- •Десяткові дроби
- •Звичайні дроби
- •Додатні та від’ємні числа
- •Відповіді
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності
- •Предметний покажчик
- •Розділ і. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Розділ іі. Цілі вирази
- •Розділ ііі. Функції
- •§ 6. Функції
- •Розділ іv. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Навчальне видання
- •Алгебра
- •46010, М. Тернопіль, вул. Поліська, 6а. Тел. 8-(0352)-43-10-31, 43-15-15, 43-10-21.
11. Додавання і віднімання многочленів
1. Додавання многочленів. Додамо многочлени 4а2 6а + 5 і 2а2 + 3а + 2:
(4а2 6а + 5) + (2а2 + 3а + 2) = 4а2 6а + 5 2а2 + 3а + 2 = 2а2 3а + 7.
Розкривши дужки, та звівши подібні доданки, ми записали суму даних многочленів у вигляді многочлена. Отже, сумою многочленів 4а2 6а + 5 і 2а2 + 3а + 2 є многочлен 2а2 3а + 7.
У такий же спосіб додають три й більше многочленів. Суму будь-яких многочленів завжди можна записати у вигляді многочлена.
2. Віднімання многочленів. Віднімемо від многочлена 4х2 4х + 7 многочлен 2х2 3х + 5:
(4х2 4х + 7) (2х2 3х + 5) = 4х2 4х + 7 2х2 + 3х 5 = 2х2 х + 2.
Розкривши дужки, та звівши подібні доданки, ми записали різницю даних многочленів у вигляді многочлена. Отже, різницею многочленів 4х2 4х + 7 і 2х2 3х + 5 є многочлен 2х2 х + 2.
Різницю будь-яких многочленів завжди можна записати у вигляді многочлена.
П риклади розв’язання вправ
Приклад 1. Знайти суму многочленів:
а) 5х2 + 2xy 4 і 4x2 6xy; б) 2a2b 2; 5a2b + 2а і 3a2b + 6а.
● а) (5х2 + 2xy 4) + (4x2 6xy) = =
= .
б)
4a2b + 8а 2. ●
Приклад 2. Знайти різницю многочленів 5а2 1 + 4ab і 8a2 3ab.
● (5а2 1 + 4ab) (8a2 3ab) = = 3a2 + 7аb 1. ●
Приклад 3. Розв’язати рівняння 4х3 2х (4х + 9 + 4х3) = 0.
● 4х3 2х 4х 9 4х3 = 0; 6х 9 = 0; 6х = 9; х = 1,5.
Відповідь. 1,5. ●
Приклад 4. Довести, що сума трьох послідовних непарних чисел ділиться на 3.
● Нехай із трьох послідовних непарних чисел найменшим є 2n + 1, де n деяке ціле число. Тоді наступні непарні числа 2n + 3 і 2n + 5. Сума цих трьох чисел
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 = 6n + 9
ділиться на 3, бо кожний доданок у сумі 6n + 9 ділиться на 3. ●
Усно
361. Знайдіть суму многочленів:
a) 2a2 а і а2 3a; б) 4х + 1 і х2 + 2х + 4.
362. Знайдіть різницю многочленів:
а) 5a2 + 4a і 4a2 + 2a; б) 5y2 + 4y + 4 і 4y2 + 4y.
Р івень а
363. Дано два многочлени: 3х2 + 2х 5 і 2х2 2х + 3. Запишіть та подайте у вигляді многочленів стандартного вигляду: а) суму цих многочленів; б) різницю першого і другого многочленів; в) різницю другого й першого многочленів.
364. Запишіть суму та різницю многочленів 6y2 4y + 3 і 5y2 + 6y 3. Подайте суму та різницю у вигляді многочленів стандартного вигляду.
Знайдіть суму многочленів:
365. a) 2a3 4a2 + а і а3 + 3a2 2a + 2; б) 5х + 2; х2 + 4х 3 і 3х2 4;
в) a2 2ab + b2 і a2 + 2ab + b2; г) 4xy - 6х; 2x - 6хy і - xy - x.
366. а) 3х4 + 5х2 - 5 і х4 3х2 + 4; б) -2b2 - 3; 3b2 + 2 і 2b2 + 1.
Знайдіть різницю многочленів:
367. а) 3с3 + 3с2 4с + 1 і 2с3 - 3с2 + с - 5;
б) 5х3 - 4х2 + 3х - 4 і 7х3 - 4х2 + 3х + 11;
в) 2а2 - 8а + 5 і 2а2 - 2а - 5;
г) а4 + 3а2 + 3 і 2а4 - 5 + 3а3.
368. а) 4х3 + 3х2 + х - 4 і 2х3 - х2 + 2х + 7;
б) -4m3 + 4m2 + m - 1 і -4m3 + 4m2 + m + 1;
в) 5a2 + 3a + 6 і 8a3 + 2а2 + 6.
369. Знайдіть суму та різницю многочленів:
а) а + b і а - b; б) а - b і b - a.
Спростіть вираз:
370. а) 4а (5a2 + 3a 2); б) 4,5аb + 3а + (2,6аb - 2,9);
в) (4т2 - 3m + n) (-5m + m2 - 3n); г) x2 + y - (2x2 y) - (-3x2 + y).
371. а) (-а + а2) - (3а2 2 + 2a); б) (7x3 - 4x) - (8x - 3x3) - (x3 + x).
Розв’яжіть рівняння:
372. а) 2x2 - 3x - (2x - 4 + 2x2) = 0; б) -х3 - 4 - (4х - х3 + 4) = 0.
373. а) 5х + х2 + 3 - (х + х2) = 0; б) 3x2 + 4x + 6 - (-6x + 3x2 2) = 0.