- •Алгебра Підручник для 7 класу
- •Юні друзі!
- •§ 1. Рівняння
- •1. Поняття рівняння
- •Приклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •2. Розв’язування рівнянь. Властивості рівнянь
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •3. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Підсумок
- •Д ля тих, хто хоче знати більше Рівняння з модулями
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •4. Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 1
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 2. Цілі вирази
- •5. Вирази зі змінними. Цілі вирази
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •6. Тотожно рівні вирази. Тотожності
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 2
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 3. Одночлени
- •7. Степінь з натуральним показником
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •8. Властивості степеня з натуральним показником
- •1. Множення степенів з однаковими основами.
- •2. Ділення степенів з однаковими основами.
- •3. Піднесення степеня до степеня.
- •4. Піднесення добутку до степеня.
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •9. Одночлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 3
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 4. Многочлени
- •10. Многочлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •11. Додавання і віднімання многочленів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •12. Множення одночлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •13. Множення многочлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •14. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •15. Розкладання многочленів на множники способом групування
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 4
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 5. Формули скороченого множенея
- •16. Множення різниці двох виразів на їх суму
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •17. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •18. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •19. Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата суми і квадрата різниці
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •20. Різниця і сума кубів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Рівень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •21. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •22. Застосування перетворень виразів
- •1. Порівняння значень многочлена з нулем.
- •2. Знаходження найбільшого і найменшого значень виразів.
- •3. Розв’язування задач на подільність.
- •4. Знаходження значень многочлена за допомогою мікрокалькулятора.
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 5
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 6. Функції
- •23. Функція. Способи задання функції
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •24. Графік функції. Функція як математична модель реальних процесів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •25. Лінійна функція
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 6
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •26. Рівняння із двома змінними
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •27. Графік лінійного рівняння із двома змінними
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •28. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними
- •1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.
- •2. Розв’язування систем лінійних рівнянь графічним способом.
- •П риклади розв’язання вправ
- •29. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •30. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом додавання
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •Вправи для повторення
- •31. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 7
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності До § 1. Лінійні рівняння з однією змінною
- •До § 2. Цілі вирази
- •До § 3. Одночлени
- •До § 4. Многочлени
- •До § 5. Формули скороченого множення
- •До § 6. Функції
- •До § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Логічні задачі
- •Вітчизняні математики
- •Відомості з курсу математики 5–6 класів Подільність натуральних чисел
- •Найбільший спільний дільник
- •Найменше спільне кратне
- •Десяткові дроби
- •Звичайні дроби
- •Додатні та від’ємні числа
- •Відповіді
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності
- •Предметний покажчик
- •Розділ і. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Розділ іі. Цілі вирази
- •Розділ ііі. Функції
- •§ 6. Функції
- •Розділ іv. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Навчальне видання
- •Алгебра
- •46010, М. Тернопіль, вул. Поліська, 6а. Тел. 8-(0352)-43-10-31, 43-15-15, 43-10-21.
20. Різниця і сума кубів двох виразів
Різницю квадратів двох виразів можна розкласти на множники за формулою різниці квадратів. Розкладаючи на множники різницю кубів двох виразів, використовують формулу різниці кубів:
a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).
Доведемо цю тотожність, перемноживши вирази a - b і a2 + ab + b2:
(a - b)(a2 + ab + b2) = a3 + а2b + ab2 - a2b - ab2 - b3 = a3 - b3.
У формулі різниці кубів тричлен a2 + ab + b2 називають неповним квадратом суми виразів а і b (він нагадує тричлен a2 + 2ab + b2, який є квадратом суми виразів а і b). Отже, формулу різниці кубів можна сформулювати так:
-
Різниця кубів двох виразів дорівнює добутку різниці цих виразів і неповного квадрата їх суми.
При розкладі на множники суми кубів двох виразів використовують формулу суми кубів:
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2).
Доведемо цю тотожність:
(a + b)(a2 - ab + b2) = a3 - а2b + ab2 + a2b - ab2 + b3 = a3 + b3.
Тричлен a2 - ab + b2 називають неповним квадратом різниці виразів а і b. Отже,
-
Сума кубів двох виразів дорівнює добутку суми цих виразів і неповного квадрата їх різниці.
П риклади розв’язання вправ
Приклад 1. Розкласти на множники:
а) a3 64; б) 27a3 + 125b3; в) x3 y6.
● а) a3 64 = a3 43 = (a 4)(a2 + 4a + 16);
б) 27a3 + 125b3 = (3a)3 + (5b)3 = (3a + 5b)(9a2 15ab + 25b2);
в) x3 y6 = (x3 + (y2)3) = (x + y2)(x2 - xy2 + y4). ●
Усно
655. Назвіть неповний квадрат різниці виразів:
a) x і y; б) c і d; в) p і 1; г) 2 і c.
656. Назвіть неповний квадрат суми виразів:
a) m і n; б) p і q; в) a і 1; г) 3 і x.
557. Розкладіть на множники: a) x3 - y3; б) m3 + n3.
Рівень а
Розкладіть на множники:
658. a) p3 - q3; б) b3 1; в) x3 27; г) 64 y3;
д) b3 + c3; е) a3 + 8; є) 1 + y3; ж) 125 + b3.
659. a) m3 - n3; б) b3 8; в) 27 a3; г) 1 z3;
д) x3 + y3; е) k3 + 64; є) p3 + 1; ж) 27 + c3.
660. a) 27x3 - 1; б) 1 + 64b3; в) 8а3 27; г) 125 27y3;
д) 64m3 27; е) b3 + ; є) y3 1; ж) x3 + 1.
661. a) m6 - n3; б) a9 + b6; в) а6 + c6; г) x12 - y9.
662. a) 8z3 + 1; б) 1 - 125p3; в) 27x3 + 64; г) 125c3 8;
д) a3 1; е) 27m3 + ; є) y3 x9; ж) p6 + q12.
Р івень б
663. Запишіть у вигляді добутку:
a) a3 + 8; б) b3 c3;
в) 27 + y3; г) 64 z3.
Розкладіть на множники:
664. а ) 64a3 27b3; б) p3 8q3; в) 27а6 125;
г) 0,001a6 b3c3; д) 8x9 + 125y6; е) 1000 a3b9c12.
665. а) 216b3 27c3; б) 125m3 + n6; в) 0,064x9y6z3 27.
Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:
666. а) 9213 - 8213 на 100; б) 573 + 283 на 85.
667. а) 273 + 373 на 64; б) 753 - 463 на 29.
Спростіть вираз:
668. а) (a - b)(a2 + ab + b2) + b3; б) (x2 - 1)(x4 + x2 + 1) + 1;
в) (a2 + b2)(a4 - a2b2 + b4) - а6 b6;
г) (a + 2)(a2 - 2a + 4) - (a - 2)(a2 + 2a + 4).
669. а) (x + 3)(x2 - 3x + 9) - 27;
б) (b - 1)(b2 + b + 1) + (b + 1)(b2 - b + 1).
Розв’яжіть рівняння:
670. а) (x - 2)(x2 + 2x + 4) = x3 + 4x; б) (y2 - 3y + 9)(y + 3) = 6y + y3.
671. а) (1 - x)(1 + x + x2) = x - x3; б) -8z + z3 = (z - 4)(z2 + 4z + 16).