Д ля тих, хто хоче знати більше
Щоб піднести суму або різницю двох виразів до куба, можна використовувати формули куба суми або куба різниці:
(a + b)3 = a3 + 3а2b + 3ab2 + b3;
(a b)3 = a3 3а2b + 3ab2 b3.
Виведемо ці формули.
1. (a + b)3 = (a + b)(a + b)2 = (a + b)(a2 + 2аb + b2) =
= a3 + 2а2b + ab2 + a2b + 2ab2 + b3 = a3 + 3а2b + 3ab2 + b3.
2. (a - b)3 = (a + (-b))3 = a3 + 3а2(-b) + 3a(-b)2 + (-b)3 = a3 - 3а2b + 3ab2 - b3.
Формулюють формулу куба суми так:
-
Куб суми двох виразів дорівнює кубу першого виразу плюс потроєний добуток квадрата першого виразу і другого плюс потроєний добуток першого виразу і квадрата другого плюс куб другого виразу.
Формулу куба різниці формулюють аналогічно.
П риклади розв’язання вправ
Приклад 1. Піднести до квадрата вираз:
а) хy 2z2; б) 3m n; в) х + 5у; г) a + b c.
● а) (хy 2z2)2 = (хy)2 2·хy·2z2 + (2z2)2 = х2y2 4хyz2 + 4z4;
б) (-3m - n)2 = (–(3m + n))2 = (3m + n)2 = 9m2 + 6mn + n2;
в) (-х + 5у)2 = (х - 5у)2 = х2 - 10ху + 25у2;
г) (a + b c)2 = ((a + b) c)2 = (a + b)2 2(a + b)c + c2 =
= a2 + 2ab + b2 2ac 2bc + c2. ●
Усно
571. Піднесіть до квадрата двочлен:
a) x + y; б) x y; в) a + 1; г) a 1.
Р івень а
Піднесіть до квадрата:
572. а) (k + n)2; б) (b + 2)2; в) (с 4)2;
г) (3 + a)2; д) (5 b)2; е) (a + 15)2;
є) (x 0,5)2; ж) (1,2 c)2; з) (n + 2,5)2.
573. а) (b c)2; б) (x + 4)2; в) (а 2)2;
г) (3 n)2; д) (0,3 + z)2; е) (1,5 b)2.
574. а) (2a + 1)2; б) (2с 5)2; в) (3 4a)2;
г) (4c 0,5)2; д) (2b 0,5c)2; е) (5х 0,2)2.
575. а) (3b 1)2; б) (5z + 2)2; в) (6а + b)2;
г) (4x 5y)2; д) (0,3a + 10b)2; е) (8b 0,5)2.
Спростіть вираз:
576. а) (a + 1)2 + (a 1)2; б) (b + 2)2 4(b + 1);
в) (5 2x)2 25 4x2; г) x2 1 (x 1)2.
577. а) (4 b)2 + 8b b2; б) (x + 2)2 + (x 2)2.
Розв’яжіть рівняння:
578. а) (х + 2)2 х2 = 8; б) (x 3)2 x2 = 21.
579. а) (x 1)2 x2 = 11; б) (x + 4)2 x2 = 24.
Р івень б
Піднесіть до квадрата:
580. а) (b + c)2; б) (x y)2; в) (2а + 3)2;
г) (4x + 5y)2; д) (2m 10n)2; е) (2,5а + 4)2.
581. а) (m n)2; б) (b + 5)2; в) (3x + y)2;
г) (4c 3d)2; д) (k 1,5)2; е) (0,5z + 2)2.
Подайте у вигляді многочлена стандартного вигляду:
582. а) (y2 + 1)2; б) (2 х3)2; в) (2m m2)2;
г) (4a2 + a)2; д) (4a2 аc)2; е) (4a2 3b)2.
є) (m2 0,5nk)2; ж)
з)
583. а) (a2 + 2)2; б) (2b3 4)2; в) (2x x2)2;
г) (2a2 + 5аb)2; д)
е)
Піднесіть до квадрата:
584. а) (а b + 1)2; б) (3с 2а + 3)2; в) (3 x 2х2)2.
585. а) (2 x + y)2; б) (2m + 1 3n)2; в) (а2 + 5а + 4)2.
Доведіть тотожність:
586. а) (a + b)2 (a b)2 = 4ab;
б) (2xy)2 + (x2 y2)2 = (x2 + y2)2;
в) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.
587. а) (a + b)2 + (a b)2 = 2(a2 + b2);
б) (a b + c)2 = a2 + b2 + c2 2ab + 2ac 2bc.
Спростіть вираз:
588. а) (2a 1)2 (2a + 1)2; б) (x2 + 1)2 x2(x2 + 2);
в) (2n 1)2 + (2n)2 + (2n + 1)2; г) (a + b 4)2 + 8(a + b 2).
589. а) (a + 2b)2 + (a + 2b)2; б) (x2 3)2 + (3x 1)(2x + 9);
в) (а b + 1)2 2(1 b)(1 + а).
Розв’яжіть рівняння:
590. а) (5х + 4)2 = (1 5х)2; б) (3x 5)(3x + 5) = 7 + (3x 4)2;
в) (2y + 3)2 (4у 2)(у 6) = 16; г) (3x 1)2 + (4x 1)2 = (5x 1)2.
591. а) (2x 3)2 3 = (2x + 1)2 11; б) 16y2 (4у 3)2 = 15y 90;
в) 3(x 1)2 (2 x)(2 + x) = (2x 1)2.