2. Розв’язування рівнянь. Властивості рівнянь

Розв’язування будь-якого рівняння зводиться до виконання певних перетворень, у результаті яких дане рівняння замінюють більш простим.

Розв’яжемо, наприклад, рівняння:

      (1)

1. Розкриємо дужки:

5х  10 + 11 = 3х + 9.                                           (2)

2. Зведемо подібні доданки в лівій частині рівняння:

5х + 1 = 3х + 9.                                              (3)

3. Перенесемо доданки зі змінною х у ліву частину рівняння, а без змінної — у праву, змінивши їхні знаки на протилежні:

5х  3х = 9  1.                                               (4)

4. Зведемо подібні доданки у кожній частині рівняння:

2х = 8.                                                     (5)

5. Поділимо обидві частини рівняння на 2:

х = 4.                                                          

Отже, рівняння (1) має єдиний корінь — число 4.

Розв’язуючи рівняння (1), ми виконували певні перетворення: розкривали дужки, зводили подібні доданки, переносили доданки з однієї частини рівняння в іншу, ділили обидві частини рівняння на число. Із цими перетвореннями пов’язані такі основні властивості рівнянь:

Властивість 1. У будь-якій частині рівняння можна розкрити дужки або звести подібні доданки.

Властивість 2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

Властивість 3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне і те ж, відмінне від нуля, число.

Якщо в деякому рівнянні виконати одне з перетворень, вказаних у властивостях 1, 2 або 3, то одержимо рівняння, яке має ті ж корені, що й початкове рівняння.

Розв’язуючи рівняння (1), ми послідовно одержували рівняння (2), (3), (4), (5). Усі вони разом з рівнянням (1) мають один і той же корінь — число 4.

Д ля тих, хто хоче знати більше

Властивості рівнянь можна обґрунтувати, використовуючи такі властивості числових рівностей:

Якщо a = b  правильна числова рівність і с  деяке число, то:

a + с = b + с	Якщо до обох частин правильної числової рівності додати одне й те ж число, то одержимо правильну числову рівність.
aс = bс	Якщо обидві частини правильної числової рівності помножити на одне й те ж число, то одержимо правильну числову рівність.
a : с = b : с, де с  0	Якщо обидві частини правильної числової рівності поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число, то одержимо правильну числову рівність.

З першої властивості числових рівностей можна одержати такий наслідок: якщо з однієї частини правильної числової рівності перенести в іншу частину доданок, змінивши його знак на протилежний, то одержимо правильну числову рівність.

Використовуючи властивості числових рівностей, доведемо, наприклад, що рівняння

3х = х + 2 (6)

має ті ж корені, що й рівняння

3х  х = 2. (7)

(Це властивість 2 для рівняння 3х = х + 2.)

● Нехай х = a  довільний корінь рівняння (6). Тоді 3а = а + 2  правильна числова рівність. Перенесемо доданок a в ліву частину рівності, змінивши його знак на протилежний. Одержимо правильну числову рівність 3а  а = 2, з якої випливає, що х = a є коренем рівняння (7). Ми довели, що довільний корінь рівняння (6) є коренем рівняння (7).

Навпаки, нехай х = b  довільний корінь рівняння (7). Тоді числова рівність 3b  b = 2 є правильною. Перенесемо доданок b у праву частину рівності, змінивши його знак на протилежний. Одержимо правильну числову рівність 3b = b + 2, з якої випливає, що х = b є коренем рівняння (6). Ми довели, що довільний корінь рівняння (7) є коренем рівняння (6).

Отже, рівняння (6) і (7) мають одні й ті ж корені. ●