П риклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники многочлен 12х³y  18x²y².

● Спочатку знайдемо спільний числовий множник для коефіцієнтів 12 і 18. Якщо коефіцієнтами є цілі числа, то за спільний числовий множник беруть, як правило, найбільший спільний дільник модулів цих коефіцієнтів. У нашому випадку це число 6. Степені з основою х входять в обидва члени многочлена. Оскільки перший член містить x³ = x²  х, а другий  x², то спільним множником для степенів з основою х є x² (за дужки виносять змінну з меншим показником). У члени многочлена відповідно входять множники у і у², за дужки можна винести y. Отже, за дужки можна винести одночлен 6x²y:

12х³y  18x²y² = 6х²y  2х  6х²y  3y = 6х²y(2х  3y). ●

Приклад 2. Розкласти на множники многочлен 2a²b  8a²b² + 10ab².    

● 2a²b  8a²b² + 10ab² = 2ab(a + 4аb  5b). ●

Приклад 3. Розкласти на множники: 5b(a  c) + 3(a  c).    

● Даний вираз є сумою двох доданків, для яких спільним множником є вираз a  c. Винесемо цей множник за дужки:

5b(a  c) + 3(a  c) = (a  c)(5b + 3). ●

Приклад 4. Розкласти на множники: 2x(m  n) + y(n  m).

● Доданки мають множники m  n і n  m, які відрізняються тільки знаками. У виразі n  m винесемо за дужки 1, тоді другий доданок матиме вигляд y(m  n) й обидва доданки матимуть спільний множник m  n.

Отже,

2x(m  n) + y(n  m) = 2x(m  n)  y(m  n) = (m  n)(2x  y). ●

Приклад 5. Знайти значення виразу 8,5а² + а³, якщо а = 1,5.    

● Розкладемо спочатку многочлен 8,5а² + а³ на множники:

8,5а² + а³ = а²(8,5 + а).

Якщо а = 1,5, то:

а²(8,5 + а) = 1,5²  (8,5 + 1,5) = 2,25  10 = 22,5. ●

Приклад 6. Розв’язати рівняння 4х² + 5х = 0.    

● Розкладемо ліву частину рівняння на множники:

х(4х + 5) = 0.

Добуток х(4х + 5) дорівнює нулю лише тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю:

х = 0 або 4х + 5 = 0, звідки х = 0 або х = 1,25.

Відповідь. 0; 1,25. ●

Усно

462. Знайдіть спільний множник членів многочлена:

a) 8 + 4b; б) 15х  10; в) 3а + 3ab;

г) а²  2а; д) mn  n² + n; е) 18a⁴b³  6a²b².

463. Чи правильно розкладено на множники многочлен:

а) 6a + 6 = 6(a + 0); б) 6a + 6 = 6(a + 6); в) 6a + 6 = 6(a + 1);

г) 4xy  2y = y(4х  2); д) 4xy  2y = y(4х + 2); е) 4xy  2y = 2y(2х  1)?

Р івень а

Винесіть за дужки спільний множник:

464. а) 3a + 3b;     б) 3a + 6; в) 9a - 18b;

г) -6a + 6b; д) 3y² + 3y  6;    е) -15с - 10.

465. а) 5a + 5;     б) 5a + 15b; в) 15x - 25y;

г) 2x - 4y + 8z; д) -7k + 7m; е) -4m - 2n.

Розкладіть на множники і зробіть перевірку:

466. а) 4а + 12;      б) 5аb + 10а; в) 4аb  2b.

467. а) 2b - 8a;      б) 6xy + 24x; в) 9mn  6m.

Розкладіть на множники:

468. а) ax + bx;     б) ym - yn; в) -ca + cb; г) xz - yz.

469. а) km + kn;     б) -xa + ya; в) -bx - ax; г) ta - tb.

470. а) 9ах - 9bx; б) 3ay - 6y; в) -7аb + 14b;

г) 10x² - 15х³;     д) 32b² - 24b⁴; е) -8c³  10c⁵.

471. а) 5хy - 5y; б) 8ac - 6ab; в) c² + c⁵;

г) 3x² + 9x; д) 15y² - 12y⁴; е) -24n - 18n³.

472. a) а³ + 3а² - 10a; б) 4x⁵ - 8x³ + 4x²; в) 9a⁵  27a³ + 18a⁴.

473. a) 2x⁴ - x³ - x²; б) 2c - 4c² + 8c³; в) -5b⁴ + 10b² + 5b⁵. 

Знайдіть значення многочлена:

474. а) х³  1,5x², якщо x = 2,5; б) xy + y², якщо x = 0,3; y = 10,3.

475. а) 2,4a²  a³, якщо a = 1,4;  б) m² + mn, якщо m = 2,8; n = 7,2.

Розв’яжіть рівняння:

476. а) х²  5х = 0; б) 5х² + 15х = 0.

4 77. а) х² + 2х = 0; б) 4х  2х² = 0.