Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
alg_7_pidr_yantsenko.docx
Скачиваний:
28
Добавлен:
27.08.2019
Размер:
12.03 Mб
Скачать

До § 3. Одночлени

1144. Доведіть, що для кожного натурального значення n число:

а) 34n + 4 ділиться на 5; б) 92n  1 ділиться на 10.

1145. Доведіть, що для кожного натурального значення n число 42n + 4 ділиться на 10.

1146. Доведіть, що для кожного натурального значення n число 10n – 4 ділиться на 3, але не ділиться на 9.

1147. Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, для яких була б правильною рівність m(m + 1) = 3n + 2n.

1148. Що більше:

а) 125125 чи 25185; б) 2508 чи 3757?

1149. Якою цифрою може закінчуватися запис квадрата цілого числа; четвертого степеня цілого числа; восьмого степеня цілого числа?

1150. а) Доведіть, що не існує цілого числа, квадрат якого дорівнює .

б) Чи існують натуральні значення m і n, для яких рівність m4 = 10n + 4 є правильною?

в) Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, для яких була б правильною рівність m8 = 10n + 2.

1151. Знайдіть найменше натуральне число, яке внаслідок множення на 2 дає квадрат натурального числа, а внаслідок множення на 3 — куб натурального числа.

До § 4. Многочлени

1152. а) Число n при діленні на 6 дає в остачі 3, а число m  в остачі 4. Яку остачу при діленні на 6 дає число: 3n + 5m; nm?

б) Числа m, n і k при діленні на 5 дають відповідно в остачах 2, 3 і 4. Доведіть, що число nk  m(m  1) ділиться на 5.

1153. У чотирицифровому числі число десятків і число тисяч на 1 більші від числа одиниць, а число сотень на 1 більше від числа десятків. Доведіть, що це чотирицифрове число ділиться на 11.

1154. Двоцифрове число в сумі з числом, записаним тими ж цифрами, але у зворотному порядку, дає квадрат натурального числа. Знайдіть усі двоцифрові числа, які мають таку властивість.

1155. Розв’яжіть рівняння (5|x|  6)(3|x| + 5) = 5(3x2 + 1).

1156. Розв’яжіть рівняння з параметром:

а) 2(x – 3) = 3(x – a); б) 4(x – 1) = a – 4.

1157. Доведіть, що для будь-якого значення параметра а коренем рівняння х(x а2)  а2 = x(x  1) + 2 є додатне число.

1158. Доведіть, що:

а) 1 + 2 + 2+ 23 + … + 29 + 210 = 211  1; 

б) 4(1 + 5 + 5+ 53 + … + 58 + 59) = 510  1. 

Вказівка. а) 1 + 2 + 2+ 23 + … + 29 + 210 = (2 – 1)(1 + 2 + 2+ 23 + … + 29 + 210). Виконавши множення, спростіть останній вираз.

1159. Доведіть, що значення виразу 277 + 911  815 ділиться на 11.

1160. Доведіть, що значення виразу ділиться на 7 для будь-якого натурального значення n.

1161. Доведіть, що сума чотирьох послідовних натуральних степенів числа 3 ділиться на 120.

Розкладіть на множники:

1162a) 2a  a 6+ 9b2; б) 81x 49x2y+ 144xy + 64y2;

в) a2ab2 + b2bc2 + c2ca2 + 3abc.

До § 5. Формули скороченого множення

1163. Спростіть вираз (a  (b)n)2 + (a + (b)n)2, де n  натуральне число.

1164. Розв’яжіть рівняння:

а) (|x|  х)(|x| + х) = 1  |x|;

б) (2|x|  1)(2|x| + 1) = (x  1)(4 1);

в) (1  |x|)(1 + |x|)(1 + |x|2) + x4 = |x|.

Розкладіть на множники:

1165. а) (a+ 1)+ 6(a2 + 1) + 5; б) (с 3с)- 2(с2  3с)  8;

в) (а 4a) 2a+ 8 15; г) (x+ 2x) 2(x+ 2x)  3.

1166. а) a4 + 4а2  5; б) aа+ 1.

1167. а) а2 b2 + c2 + 2ab + 2bc  + 2ca; б) 4х2 + 4хуу2 + 4х + 2у + 1.

1168. Доведіть, що значення виразу 256 - 221 ділиться на 497.

1169. Доведіть, що різниця четвертих степенів двох цілих чисел, одне з яких при діленні на 5 дає в остачі 1, а друге  в остачі 2, кратна 5.

1170. Різниця квадратів натуральних чисел m і n є простим числом. Доведіть, що:

а) + 1;

б) число 4n2 є квадратом цілого числа.

1171. Знайдіть усі натуральні числа m і n, для яких є правильною рівність:

а) (n)2 - n2 = 3;      б) m2 - (n)2 = 9.

1172. Знайдіть усі цілі значення m і n, для яких виконується рівність (+ 2m)2  (m)2 = 5.

1173. Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, для яких була б правильною рівність:

а) m3 - (- 2n)3 = 99; б) (2+ 1)3 + (+ 2)3 = 2n.

1174. Доведіть, що коли число y є середнім арифметичним чисел x і z, то x4 + 2x3z – 2xz3 – z4 – 4x2y2 + 4y2z2 = 0.

Розв’яжіть рівняння:

1175. а)  ; б) 1 - x2 + (xx2)20 x.

1176. а)  ; б) |х|2 + 2|х| = 3.

1177. а) х3 – 7х – 6 = 0; б) х4 + 2х2 – 3 = 0.

1178. а)  ; б) (х+ 4х)2 – 4х(х+ 4х) + 3х2 = 0.

1179. Розв’яжіть рівняння з параметром а:

а)  ; б) ах  2х = 2а – 4.

1180. Знайдіть найменше значення а, для якого рівняння має хоча б один корінь.

1181. а) Доведіть, що квадрат цілого числа або ділиться на 3, або при діленні на 3 дає в остачі 1.

Вказівка. Ціле число n може мати вигляд: 1) n = 3k; 2) n = 3k + 1; 3) n = 3k + 2, де k  ціле число. Розгляньте три можливі випадки.

б) Доведіть, що для кожного натурального значення п число 3п + 2 не є квадратом цілого числа.

в) Доведіть, що сума квадратів трьох послідовних цілих чисел не є квадратом цілого числа.

г) Доведіть, що не існує натуральних чисел m і п, для яких виконувалася б рівність m2 + 1 = 3п.

1182.а) Доведіть, що не існує цілих чисел m і n, для яких виконувалася б рівність 8n + 2 = m2.

Вказівка. Припустимо, що такі цілі числа m і n існують. Тоді з рівності 8n + 2 = m2 випливає, що m2 є парним числом. Тому й число m  парне. Нехай m = 2k, де k  ціле число. Обґрунтуйте, що рівність 8n + 2 = 4k2 для цілих n і k не може бути правильною.

б) Доведіть, що серед чисел виду 8n + 2, де n натуральне число, немає квадрата цілого числа.

в) Доведіть, що сума квадратів двох послідовних непарних чисел не є квадратом цілого числа.

1183. а) Нехай n  деяке натуральне число. Доведіть, що за числом n2  наступні 2n натуральних чисел не є квадратами натуральних чисел.

б) Доведіть, що число 520 + 1 не є квадратом натурального числа.

в) Доведіть, що не існує натуральних чисел m і n, для яких виконувалася б рівність 52m + 4 = n2.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]