15. Розкладання многочленів на множники способом групування

Вивчення цього способу розкладання многочленів на множники почнемо із прикладу на множення многочленів. Виконаємо множення двочлена a  b на двочлен x + y таким чином:

(a  b)(x + y) = a(x + y)  b(x + y)  = ax + ay  bx  by.

Проводячи перетворення у зворотному порядку, многочлен ax + ay  bx  by можна розкласти на два множники a  b і x + y:

ax + ay  bx  by = (ax + ау) + (bx  by) =  a(x + y)  b(x + y) = (x + y)(a  b).

Проаналізуємо останні перетворення. Маємо многочлен, члени якого можна групувати так, щоб кожна група мала спільний множник (група ax + ay   спільний множник а, його виносимо за дужки; група bx  by  спільний множник b, його також виносимо за дужки). В утвореній різниці a(x + y)  b(x + y) маємо спільний множник x + y, виносимо його за дужки й одержуємо (x + y)(a  b).

Описаний спосіб розкладання многочленів на множники називають способом групування. Застосовуючи цей спосіб, треба утворювати групи членів, що мають спільний множник. Після винесення в кожній групі множників за дужки повинен утворитися спільний множник для всіх груп, який знову ж таки треба винести за дужки.

Многочлен ax + аy  bx  by можна розкласти на множники, групуючи його члени по-іншому:

ax + ay  bx  by = (ax  bx) + (ay  by) = x(a  b) + y(a  b) = (a  b)(x + y).

Порівняйте

(а – b)(x + y) = аx + аy – bx – by	—	помножили многочлен на многочлен; результат — многочлен
аx + аy – bx – by = (а – b)(x + y)	—	розклали многочлен на множники; результат — добуток многочленів

П риклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розкласти на множники многочлен

3ах  12bх + 9а  4bх².

● 3ах  12bх + 9а  4bх² = (3ах + 9а)  (4bх² + 12bх) =

= 3а(х + 3)  4bх(х + 3) =  (х + 3)(3а  4bх). ●

Приклад 2. Розкласти на множники тричлен х²  5x + 6.

● Подамо другий член 5x у вигляді 3x  2x. Тоді:

х²  5x + 6 = х²  3x  2x + 6 = х(x  3)  2(x  3) = (х  3)(x  2). ●

Усно

497. Вкажіть у кожному многочлені групи членів, які мають спільний множник, та назвіть цей множник:

a) ax + аy + 5x + 5y; б) 2a  2b + an  bn.

Р івень а

Розкладіть на множники:

498. a) ax + ay + 4x + 4y; б) 7х + by + 7y + bx;

в) 6m  6n + am  an; г) 6m  6n  am + an;

д) ma - na + mb - nb; е) 5a - bх - 5b + aх;

є) a + 2nb - b - 2na; ж) 4ay + 3 - 3y  4a.

499. a) 2a + 2b + xa + xb; б) ma - mb + 3a - 3b;

в) ka  kb  5a + 5b; г) 6c  ac  ab + 6b ;

д) x + y - bx - by; е) 7am - 7m + 5ax - 5х.

500. а) a³ + a² + a + 1; б) x³ – 4x² + 2x – 8;

в) b² - ab - 2b + 2a; г) 10x + xy + 10y + x²;

д) 3a  ax + 3x - x²; е) xya  xy + 5a - 5.

501. а) x³ + 2x² + x + 2; б) a⁶ + 5a⁴ + 5a² + 25;

в) a² + 2ab + 3a + 6b; г) x² + 3xa  2x - 6a.

Р івень б

Розкладіть на множники:

502. а) a² + b² - a³y - ab²y; б) b²n + y²  bny  by;

в) 3а²c + 6а²  10bc  5bc²; г) 12x² + 18y + 10x³ + 15xy;

д) 0,9ay + 1,2y² - 1,2ax - 1,6xy; е)  x²yz   x +  xy²z²   yz.

503. а) x²y² + 2y³ - ax² - 2ay; б) 2a²b + 2c  4abc  a;   

в) 6x³y + 12y²z² + 9y³ + 8x³z²; г) 0,2mn³  1,5m² + 0,6m³n  0,5n².

504. а) хa - хb + хc + 3a - 3b + 3c; б) ax² - ay² + 4az - 4bx² + 4by² - 16bz;

в) 5a  5b + 3na + 3nb  ma  mb; г) bn² + cn² - bp + bp² - cp + cp².

505. а) a²b + a + ab² + b + 2ab + 2; б) сa  cb + c + ad  bd + d;

в) 2a³ + 2a²b + 2ab + 2b² - a - b.

Знайдіть значення виразу:

506. а) p³ + pq²  p²q  q³, якщо p = 1,5, q = 0,5;

б) 2a³  6ab + a²b - 3b², якщо a = 8, b = 21;

в) 4x³ + 4x²y  4x² + 3y³ + 3xy²  3y², якщо x =  y =  .

507. а) 2a² + ac  2ac²  c³, якщо a = 17, c = 4;

б) m³ + m²n - 10m + n³ + n²m - 10n, якщо m =  n =