19. Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата суми і квадрата різниці
Запишемо формули квадрата суми і квадрата різниці двох виразів (квадрата двочлена), помінявши в них ліві та праві частини:
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = (a + b)(a + b);
a2 2ab + b2 = (a b)2 = (a b)(a b).
Перша із цих формул дає розклад на множники тричлена a2 + 2ab + b2, а друга тричлена a2 2ab + b2.
П риклади розв’язання вправ
Приклад 1. Розкласти на множники тричлен 9a2 - 24ab + 16b2.
● 9a2 - 24ab + 16b2 = (3a)2 - 2 3a 4b + (4b)2 = (3a 4b)2. ●
Приклад 2. Знайти значення виразу x2 + 8x + 16, якщо x = 16; x = -11.
● Запишемо спочатку тричлен x2 + 8x + 16 у вигляді квадрата двочлена:
x2 + 8x + 16 = (х + 4)2.
Якщо х = 16, то: (х + 4)2 = (16 + 4)2 = 202 = 400.
Якщо х = -11, то: (х + 4)2 = (-11 + 4)2 = (-7)2 = 49. ●
Усно
632. Розкладіть на множники:
а) x2 + 2xy + y2; б) x2 2xb + b2; в) x2 + 2x + 1.
Р івень а
Подайте тричлен у вигляді квадрата двочлена:
633. а) p2 + 2pq + q2; б) c2 2c + 1; в) b2 + 4b + 4; г) x2 6x + 9; д) 36 + 12b + b2; е) 25 + z2 10z.
634. а) 4a2 4a + 1; б) 16x2 + 8x + 1; в) 1 14b + 49b2;
г) 4x2 + 12x + 9; д) 25b2 20b + 4; е) 40b + 16 + 25b2.
635. а) 4x2 + 4xz + z2; б) m2 6mn + 9n2; в) 16a2 8ab + b2;
г) 4c2 + 12ca + 9a2; д) 49x2 28xy + 4y2; е) 25p2 + 9q2 30pq.
636. а) x2 + 4x + 4; б) a2 10a + 25; в) 16 8b + b2;
г) 9k2 6k + 1; д) 4b2 + 16b + 16; е) 64 80s + 25s2;
є) 16a2 + 8ab + b2; ж) 25m2 20mn + 4n2; з) 9b2 + 16c2 24bc.
Знайдіть значення виразу:
637. а) x2 4x + 4, якщо x = 12; x = 2,1; x = -18;
б) 9a2 6a + 1, якщо a = 7; a = -33.
638. 4a2 + 4a + 1, якщо a = 4,5; a = -5,5.
Р івень б
Розкладіть на множники:
639. а) 0,25m2 + 2mn + 4n2; б) 0,36c2 0,6cx + 0,25x2;
в) 6,25х2 + 1,5xyz + 0,09y2z2; г) 196а4x4 2,8a2b2x2y4 + 0,01b4y8;
д) х2 + х + 
е)
a2 
a +
.
640. а) 0,01a2 + 4ab + 400b2; б) 0,64x2 0,32xy + 0,04y2;
в) 1,44m4n2 1,2m2nk3 + 0,25k6; г)
p2 
p + 
.
Знайдіть значення виразу:
641. а) 4x2 + 4xy + y2,
якщо x = 
;
y =
;
б) а2 3а + 2,25, якщо a = 11,5; a = -7,5.
642. m2 - 6mn + 9n2, якщо m = ; n = .
Розв’яжіть рівняння:
643. а) х2 - 8х + 16 = 0; б) у2 + 12у + 36 = 0.
644. а) z2 - 6z + 9 = 0; б) x2 + 10x + 25 = 0.
Р івень в
645. Знайдіть таке число b, для якого даний вираз є квадратом двочлена:
а) 64х2 + 80х + b; б) 
646. Подайте многочлен у вигляді суми квадратів двох виразів:
а) 2у2 + 2y + 1; б) а4 + 3а2 + 1;
в) а2 + b2 + 2a + 2b + 2; г) m2 + 2mn + 2n2 + 2n + 1.
647. Подайте многочлен 9х2 + 6ху + 2у2 + 4у + 4 у вигляді суми квадратів двох виразів. Для яких значень х та у значення цього многочлена дорівнює нулю?
648. Розв’яжіть рівняння: (х2 + 4х + 4)2 - (х + 2)4 = 0.
Вправи для повторення
649. Знайдіть значення виразу:
а) (a2bc2)2 b2, якщо a = 4; b = 0,3; c = 0,25;
б) (5а3b)2 аb5, якщо а = 0,2; b = 5.
650. Для яких значень х значення виразу (2х + 1)2 - 4(х2 + 3х) дорівнює: 1; 1?
651*. У першій чашці є кава, у другій — стільки ж молока. З першої чашки в другу перелили ложечку кави, потім таку ж ложечку суміші перелили з другої чашки в першу. Чого більше: молока у першій чашці чи кави в другій?
652. Запишіть у вигляді виразу:
а) куб суми чисел m і n; б) суму кубів чисел m і n;
в) куб різниці чисел а і с; г) різницю кубів чисел а і с.
653. Запишіть у вигляді куба вираз:
а) 8x3; б) -8х3; в) 64а9; г) -0,027а6b12.
654. Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:
а) (х + 4)(х2 + 2х - 3); б) (а - 2b)(а2 - 2аb + 2b2).