Відомості з курсу математики 5–6 класів Подільність натуральних чисел

1. Будь-яке натуральне число а, на яке ділиться дане натуральне число n, називають дільником числа n.

2. Будь-яке натуральне число n, яке ділиться на дане натуральне число a, називають кратним числу a.

Число 12	дільники: 1; 2; 3; 4; 6; 12.
	кратні: 12; 24; 36; 48; ...

3. Натуральне число називають простим, якщо воно має тільки два різних дільники: одиницю і це саме число.

4. Число, яке має більше ніж два дільники, називають складеним.

5. Кожне складене число можна записати у вигляді добутку кількох простих чисел, тобто розкласти його на прості множники.

Наприклад: 120 = 2³ · 3 · 5.

6. На 10 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрою 0.

7. На 5 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується цифрами 0 або 5.

8. На 2 діляться ті й тільки ті натуральні числа, запис яких закінчується парною цифрою.

9. На 3 діляться ті й тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 3.

10. На 9 діляться ті й тільки ті натуральні числа, сума цифр яких ділиться на 9.

Найбільший спільний дільник

11. Найбільше натуральне число, на яке ділиться кожне з даних чисел, називають найбільшим спільним дільником цих чисел.

Для знаходження найбільшого спільного дільника двох чисел можна розкласти ці числа на прості множники і знайти добуток спільних множників.

Наприклад: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3; 60 = 2 · 2 · 3 · 5;

НСД(144; 66) = 2 · 2 · 3 = 12.

Найменше спільне кратне

12. Найменшим спільним кратним натуральних чисел називають найменше натуральне число, яке ділиться на кожне з даних чисел.

Щоб знайти найменше спільне кратне двох чисел, кожне з них можна розкласти на прості множники, до розкладу одного з чисел дописати з розкладу іншого числа ті множники, яких немає у розкладі першого, і перемножити записані числа.

Наприклад: 144 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3; 60 = 2 · 2 · 3 · 5;

НСК(144; 60) = 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 720.

Десяткові дроби

13. Додавання і віднімання десяткових дробів виконують порозрядно. Для цього дроби записують так, щоб відповідні розрядні одиниці й коми були одні під одними.

Наприклад:  ; .

14. Щоб помножити один десятковий дріб на інший, потрібно виконати множення, не зважаючи на коми, а потім у добутку відокремити комою стільки десяткових знаків, скільки їх є в обох множниках разом.

Щоб поділити десятковий дріб на десятковий дріб, потрібно в діленому і дільнику перенести коми праворуч на стільки цифр, скільки десяткових знаків має дільник, а потім виконати ділення на натуральне число.

Наприклад:   ;  = 3,6.

Окремі випадки множення і ділення десяткових дробів:

Звичайні дроби

15. Основна властивість дробу. Якщо чисельник і знаменник звичайного дробу помножити або поділити на одне й те ж натуральне число, то отримаємо дріб, який дорівнює даному.

Наприклад:  .

16. Щоб звести дроби до найменшого спільного знаменника, потрібно:

1) знайти найменше спільне кратне знаменників;

2) знайти додаткові множники, поділивши найменше спільне кратне на кожний знаменник;

3) чисельник і знаменник кожного дробу помножити на відповідний додатковий множник.

Наприклад: зведемо до найменшого спільного знаменника дроби , і :

1) НСК(4; 12; 16) = 48;

2) додаткові множники: 48 : 4 = 12; 48 : 12 = 4; 48 : 16 = 3;

3) ; ; .

17. Щоб додати дроби з однаковими знаменниками, потрібно до чисельника першого дробу додати чисельник другого й записати в чисельнику, а знаменник записати той самий.

Щоб відняти дроби з однаковими знаменниками, потрібно від чисельника першого дробу відняти чисельник другого й записати в чисельнику, а знаменник записати той самий.

Наприклад:  ; ; .

Щоб додати або відняти дроби з різними знаменниками, потрібно їх спочатку звести до спільного знаменника.

18. Щоб перемножити два звичайні дроби, потрібно перемножити їх чисельники і добуток записати в чисельнику, перемножити їх знаменники і добуток записати в знаменнику.

Щоб поділити один дріб на інший, досить ділене помножити на число, обернене дільнику.

Наприклад:  ; .

19. Щоб звичайний дріб записати десятковим, досить чисельник дробу поділити на його знаменник.

Наприклад: .

20. Щоб знайти дріб від числа, потрібно число помножити на цей дріб.

Наприклад: знайдемо від 45: ;

30% від 140 — це 0,3 від 140: 140 · 0,3 = 42.

Щоб знайти число за даним значенням його дробу, потрібно це значення поділити на дріб.

Наприклад: знайдемо число, якого дорівнює 40:

;

знайдемо число, 17% якого дорівнює 51: 17% = 0,17; 51 : 0,17 = 300.

21. Щоб знайти відсоткове відношення двох чисел, потрібно знайти їх відношення і записати у відсотках.

Наприклад: знайдемо відсоткове відношення чисел 12 і 28:

.