29. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки
Розглянемо правильну рівність 7 + 2 = 9. Якщо у цій рівності число 2 замінити числовим виразом 2(3 2), значення якого дорівнює 2, то одержимо правильну рівність 7 + 2(3 2) = 9. Навпаки, якщо у правильній рівності 7 + 2(3 2) = 9 вираз 2(3 2) замінити його значенням 2, то одержимо правильну рівність 7 + 2 = 9.
На цих властивостях числових рівностей базується розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки. Розглянемо приклад.
Нехай треба розв’язати систему рівнянь
(1)
З першого рівняння системи виразимо змінну у через змінну х:
y = 3 2х.
Підставимо у друге рівняння системи замість y вираз 3 2х. Одержимо систему
(2)
Системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки (доведення у рубриці «Для тих, хто хоче знати більше»). Друге рівняння системи (2) має лише одну змінну х. Розв’яжемо його:
3х 6 + 4х = 8; 7х = 14; х = 2.
У перше рівняння системи (2) підставимо замість х число 2 і знайдемо відповідне значення у:
y = 3 2 2 = 1.
Пара чисел (2; 1) розв’язок системи (2), а також і системи (1).
Спосіб, використаний для розв’язання системи (1), називають способом підстановки.
Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь способом підстановки, потрібно: 1) виразити з якого-небудь рівняння системи одну змінну через іншу; 2) підставити в інше рівняння системи замість цієї змінної одержаний вираз; 3) розв’язати одержане рівняння з однією змінною; 4) знайти відповідне значення іншої змінної. |
Д ля тих, хто хоче знати більше
Доведемо, що системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.
Нехай пара чисел (a; b) довільний розв’язок системи (1). Тоді правильними є числові рівності 2а + b = 3 і 3а 2b = 8, а отже, і рівність b = 3 2a. Замінимо в рівності 3а 2b = 8 число b виразом 3 2a, одержимо правильну рівність 3а 2(3 2a) = 8. Оскільки рівності b = 3 2a і 3а 2(3 2a) = 8 є правильними, то пара чисел (a; b) є розв’язком системи (2). Ми показали, що довільний розв’язок системи (1) є розв’язком системи (2).
Навпаки, нехай пара чисел (с; d) довільний розв’язок системи (2). Тоді правильними є числові рівності d = 3 2c і 3c 2(3 2c) = 8. Замінимо в рівності 3c 2(3 2c) = 8 вираз 3 2c числом d, одержимо правильну рівність 3c 2d = 8. З рівності d = 3 2c випливає, що 2c + d = 3. Оскільки рівності 2c + d = 3 і 3c 2d = 8 є правильними, то пара чисел (c; d) є розв’язком системи (1). Ми показали, що довільний розв’язок системи (2) є розв’язком системи (1).
Отже, системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки.
Системи рівнянь із двома змінними, які мають одні й ті ж розв’язки, називають рівносильними. Отже, розв’язуючи систему рівнянь (1), ми замінили її рівносильною системою (2).
П риклади розв’язання вправ
Приклад 1.
Розв’язати систему рівнянь
● Виразимо з першого рівняння змінну у через змінну х:
5y = 4х 7;
y = 
Підставимо у друге рівняння системи
замість у вираз
і розв’яжемо одержане рівняння:
3х + 4 = 18;
15х + 4(4х 7) = 90;
15х + 16х 28 = 90;
31х = 62;
х = 2.
Знайдемо відповідне значення змінної у:
у = = 3.
Відповідь. (2; 3). ●
Приклад 2. Для
яких значень коефіцієнта а система
рівнянь
не має розв’язку?
● Виразимо із другого рівняння змінну х через змінну у: х = 2у + 3.
Підставивши у перше рівняння системи замість х вираз 2у + 3, одержимо рівняння:
3(2у + 3) ау = 2.
Далі матимемо:
6у + 9 ау = 2; 6у ау = 2 9; (6 а)у = 7.
Останнє рівняння не має коренів лише у випадку, коли коефіцієнт біля у дорівнює нулю: 6 а = 0; а = 6. Для цього значення а система рівнянь не має розв’язку.
Відповідь. а = 6. ●
Приклад 3. Графіком функції є пряма, що проходить через точки A(–1; 2) і B(2; 5). Задати цю функцію формулою.
● Пряма є графіком лінійної функції. Нехай шукана лінійна функція задається формулою у kx + b, де k і b — поки що невідомі числа. Оскільки графік функції проходить через точки A(–1; 2) і B(2; 5), то повинні виконуватися дві рівності
2 k (–1) + b і 5 k 2 + b.
Розв’язавши систему
знайдемо: k 1,
b 3. Отже,
функція задається формулою у
х + 3. ●