Вправи для повторення

910. У січні підприємство випустило 8000 одиниць продукції, у лютому — на 3,75% менше, ніж у січні, а в березні — на 4% більше, ніж у лютому. Скільки одиниць продукції випустило підприємство в березні?

911. Перше число становить 40% від другого. Скільки відсотків становить друге число від першого?

912. На координатній площині побудуйте точки А(2; 2) та B(4; 1). Проведіть пряму АВ і знайдіть координати точок її перетину з осями координат.

913. Побудуйте графік функції:

а) у = 1,5х – 2; б) у = -х + 1.

27. Графік лінійного рівняння із двома змінними

Розглянемо рівняння

3х  2y = 2.

Розв’язками цього рівняння є, наприклад, пари чисел (0; 1) і (2; 2). Цим розв’язкам на координатній площині відповідають точки з координатами (0; 1) і (2; 2). Якщо на координатній площині зобразимо всі точки, координати яких є розв’язками рівняння 3х  2y = 2, то одержимо графік цього рівняння.

Графік рівняння із двома змінними утворюють усі точки координатної площини, координати яких є розв’язками даного рівняння.

Щоб з’ясувати, що є графіком рівняння 3х  2y = 2, виразимо з нього змінну у через змінну х:

2y = –3х + 2; y = 1,5х – 1.

Формулою y = 1,5х – 1 задається лінійна функція, графіком якої є пряма. Якщо x = 0, то y = 1,5 · 0 – 1 = –1; якщо x = 2, то y = 1,5 · 2 – 1 = 2. Тому ця пряма проходить через точки (0; –1) і (2; 2) (рис. 38). Одержана пряма є й графіком рівняння 3х  2y = 2.

Рис. 38

Взагалі, графіком рівняння aх + by = c, у якому хоча б один з коефіцієнтів а або b відмінний від нуля, є пряма.

Щоб побудувати графік такого рівняння, можна: 1) виразити змінну y через змінну x (якщо це можливо) і побудувати графік відповідної лінійної функції або 2) знайти два розв’язки рівняння, позначити на координатній площині точки, що відповідають цим розв’язкам, і провести через них пряму.

На рисунках 39 і 40 зображені графіки лінійних рівнянь, у яких один з коефіцієнтів біля змінних дорівнює 0:

0x + y = 2, або y = 2;                            2x + 0y = 6, або x = 3.

Рис. 39                                   Рис. 40    

Графіком рівняння y = 2 є графік функції y = 2, тобто пряма, паралельна осі х, що проходить через точку (0; 2).

Розв’язками рівняння 2x + 0y = 6 (або х = 3) є всі пари чисел (х; y), у яких х = 3, а у  довільне число. Точки координатної площини, які відповідають таким розв’язкам, утворюють пряму, паралельну осі у, що проходить через точку (3; 0).

Д ля тих, хто хоче знати більше

Рівняння aх + by = c, у якому а = 0 і b = 0, має вигляд 0х + 0y = c. Якщо с = 0, то будь-яка пара чисел є розв’язком цього рівняння, а його графіком є вся координатна площина. Якщо с 0, то рівняння не має розв’язків і його графік не містить жодної точки.

П риклади розв’язання вправ

Приклад 1. Побудувати графік рівняння 5х + 2y = 4.    

● Спочатку знайдемо два розв’язки рівняння.

Нехай х = 0, тоді: 2y = 4; y = 2. (0; 2)  розв’язок.

Нехай х = 2, тоді: 10 + 2y = 4; 2y = 6; y = 3. (2; 3)  розв’язок.

Розв’язки рівняння можна подавати у вигляді таблиці.

х	0	2
y	2	3

На координатній площині позначаємо точки (0; 2) та (2; 3) і проводимо через них пряму. Ця пряма є шуканим графіком.

 ●

Приклад 2. Побудувати графік рівняння 2y = 3.    

● У даному рівнянні маємо одну змінну у. Якщо потрібно побудувати графік такого рівняння, то вважають, що це є лінійне рівняння із двома змінними х та у, в якому коефіцієнт біля змінної х дорівнює 0, тобто 0х  2y = 3. Графіком рівняння є пряма y = 1,5, яка паралельна осі х і проходить, наприклад, через точку (0; 1,5).●

Усно

914. Назвіть координати кількох точок, що належать графіку рівняння x + y = 1 (рис. 41). 915. Які з даних точок належать графіку рівняння 2x  y = 1: а) А(1; 1); б) В(2; 1); в) С(0; 1); г) D(0; 1)? 916. Вкажіть координати кількох точок, які належать графіку рівняння x  2y = 0. 917. Графік якого рівняння зображено на рисунку 42; рисунку 43?

Рис. 41

    

         Рис. 42                            Рис. 43