§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними

26. Рівняння із двома змінними

1. Поняття рівняння із двома змінними. Ви вже вмієте розв’язувати лінійні рівняння з однією змінною та рівняння, що зводяться до лінійних. Нагадаємо, що лінійне рівняння з однією змінною  це рівняння виду aх = b, де a і b  деякі числа, а х  змінна.

Розглянемо приклад, який приводить до рівняння із двома змінними.

Нехай відомо, що сума деяких двох чисел дорівнює 8. Якщо одне із чисел позначити через х, а друге  через y, то матимемо рівняння

х + y = 8,

яке містить дві змінні x та y. Таке рівняння називають рівнянням із двома змінними.

Рівняння

3х  2y = 1, 0х + 4y = 5, x² + y² = 9, xy = 10

теж є рівняннями із двома змінними. Перші два із цих рівнянь є рівняннями виду aх + by = c, де a, b і с  числа. Такі рівняння називають лінійними рівняннями із двома змінними.

Означення

Лінійним рівнянням із двома змінними називають рівняння виду aх + by = c, де x та y  змінні, a, b і с  деякі числа (коефіцієнти рівняння).

2. Розв’язки рівняння із двома змінними. Розглянемо рівняння х + y = 8. Якщо х = 2, y = 6, то це рівняння перетворюється у правильну числову рівність 2 + 6 = 8. Кажуть, що пара значень змінних х = 2, y = 6 є розв’язком рівняння х + y = 8.

Означення

Розв’язком рівняння із двома змінними називають пару значень змінних, для яких рівняння перетворюється у правильну числову рівність.

Розв’язками рівняння х + y = 8 є й такі пари чисел:

х = 4, y = 4; х = 4,5, y = 3,5; х = 10, y = 2.

Скорочено ці розв’язки записують так: (4; 4); (4,5; 3,5); (10; 2). У цих записах на першому місці пишуть значення змінної х, а на другому  значення змінної y. Це пов’язано з тим, що змінну х умовно вважають першою змінною, а змінну y  другою.

Щоб знайти розв’язок рівняння із двома змінними, можна підставити в рівняння довільне значення однієї змінної і, розв’язавши одержане рівняння з однією змінною, знайти відповідне значення іншої змінної. Для прикладу знайдемо кілька розв’язків рівняння х + y = 8.

Нехай х = 7, тоді 7 + y = 8, звідки y = 8  7; y = 1.

Нехай х = 3, тоді 3 + y = 8, звідки y = 8 + 3; y = 11.

Ми знайшли два розв’язки (7; 1) і (3; 11). Надаючи змінній х інших значень, одержимо інші розв’язки рівняння. Рівняння х + y = 8 має безліч розв’язків.

Шукати розв’язки рівнянь із двома змінними можна іншим способом, який обумовлюється властивостями рівнянь.

3. Властивості рівнянь із двома змінними. Властивості рівнянь із двома змінними такі ж, як і рівнянь з однією змінною, а саме:

1. У будь-якій частині рівняння можна виконати тотожні перетворення виразів (розкрити дужки, звести подібні доданки).

2. Будь-який доданок можна перенести з однієї частини рівняння в іншу, змінивши його знак на протилежний.

3. Обидві частини рівняння можна помножити або поділити на одне й те ж, відмінне від нуля, число.

Розглянемо рівняння

3х + 2y = 9.

Використовуючи властивості рівнянь, виразимо з цього рівняння одну змінну через іншу, наприклад, y через х. Для цього перенесемо доданок 3х у праву частину, змінивши його знак на протилежний:

2y = 3х + 9.

Поділимо обидві частини одержаного рівняння на 2:

y = 1,5x + 4,5.

Користуючись формулою y = 1,5x + 4,5, можна знайти скільки завгодно розв’язків даного рівняння. Для цього досить узяти довільне значення x і обчислити відповідне значення y. Пари деяких відповідних значень x та y подамо у вигляді таблиці.

x	4	3	2	1	0	1	2	3	4
y = 1,5x + 4,5	10,5	9	7,5	6	4,5	3	1,5	0	1,5

Пари чисел кожного стовпчика  розв’язки рівняння 3х + 2y = 9.