2. Розв’язування систем лінійних рівнянь графічним способом.

Розв’яжемо систему рівнянь

Побудуємо в одній системі координат графіки обох рівнянь системи. На рисунку 44 пряма АВ  графік рівняння 2х + y = 3, а пряма CD  графік рівняння х + 3y = 5. Координати будь-якої точки прямої АВ є розв’язком першого рівняння системи, а координати будь-якої точки прямої CD є розв’язком другого рівняння. Будь-яка спільна точка цих прямих має координати, які є розв’язком як першого, так і другого рівнянь, тобто є розв’язком системи. Оскільки прямі АВ і CD перетинаються в єдиній точці М(2; 1), то система рівнянь має єдиний розв’язок х = 2; y = 1. Цей розв’язок можна записувати й у вигляді пари (2; 1).

Рис. 44

Спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь, який ми щойно використали, називають графічним.

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь графічним способом, потрібно побудувати графіки рівнянь системи в одній системі координат і знайти координати спільних точок цих графіків.

Якщо в кожному з рівнянь системи хоча б один з коефіцієнтів біля змінних відмінний від нуля, то графіками таких рівнянь є прямі. Оскільки прямі можуть перетинатися, співпадати або бути паралельними, то такі системи рівнянь можуть мати один розв’язок, безліч розв’язків або не мати розв’язків.

П риклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати графічно систему рівнянь

● Побудуємо графіки обох рівнянь системи.

5х - 2y = 11 х - 3y = -3 х 1 3 х 0 -3 y -3 2 y 1 0 Графіки перетинаються в єдиній точці  точці М(3; 2). Отже, система рівнянь має єдиний розв’язок (3; 2). ● Примітка. Щоб не помилитися, визначаючи за графіками координати точки М, варто перевірити, чи справді знайдені координати є розв’язком системи. Перевіримо: якщо х = 3; y = 2, то 5 × 3 - 2 × 2 = 11 і 3 - 3 × 2 = -3 — правильні рівності. Пара (3; 2) справді є розв’язком системи.

Приклад 2. Скільки розв’язків має система рівнянь

● Побудуємо графіки рівнянь системи. 2х + y = 2 6х + 3y = 6 х 0 1 х 0 1 y 2 0 y 2 0 Графіки співпадають. Система рівнянь має безліч розв’язків. ●

Приклад 3. Скільки розв’язків має система рівнянь

● Побудуємо графіки рівнянь системи. х + y = 3 2х + 2y = 3 х 0 3 х 0 1,5 y 3 0 y 1,5 0 Графіками рівнянь є паралельні прямі (бо OAB = OCD = 45). Система рівнянь розв’язків не має. ●

Усно

937. Чи є розв’язком системи рівнянь пара чисел:

а) х = 2; y = 1; б) х = 0; y = 0?

938. Скільки розв’язків має система, графіки рівнянь якої зображені на рисунку 45; рисунку 46 (на рисунку 46 прямі паралельні)?

        

      Рис. 45                                                   Рис. 46

Р івень А

Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

939. а) б)

в) г)

940. а)  б) в)

941. Чи є пара чисел (1; 3) розв’язком системи рівнянь:

а) б)

Р івень Б

942. Складіть яку-небудь систему рівнянь, що має розв’язок х = 2; y = 1.

943. Складіть яку-небудь систему рівнянь, що має розв’язок (3; 1).

Скільки розв’язків має система рівнянь:

944. а) б)

в) г)

945. а) б) в)

946. Знайдіть які-небудь два розв’язки системи рівнянь

Р івень В

947. Для яких значень коефіцієнтів а та b розв’язком системи рівнянь є пара чисел (2; 1)?

948. Розв’яжіть графічно систему рівнянь:

а) б) в)

Вправи для повторення

949. Розв’яжіть рівняння:

а) 2x - 6 = 2(1 - x); б) 3(6y - 4) + 2y = 0;

в)  г) 

950. Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу (n + 2)² - (n - 2)² ділиться на 8.

951*. Кожен із 28 туристів розмовляє англійською або французькою мовами. Відомо, що англійською мовою розмовляють 20 туристів, а французькою — 15. Яка ймовірність того, що навмання вибраний турист розмовляє і англійською, і французькою мовами?

952. З рівняння 2х  3y = 4 виразіть:

а) змінну х через змінну y; б) змінну y через змінну x.