Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
alg_7_pidr_yantsenko.docx
Скачиваний:
28
Добавлен:
27.08.2019
Размер:
12.03 Mб
Скачать

Р івень в

818. Побудуйте графік функції, заданої формулою:

а) де 3  x  3;

б) де 3  x  3.

Вправи для повторення

819. Для яких значень х значення виразу 15х  6 дорівнює 3?

820. Розв’яжіть рівняння:

а) (2х + 3)(4 – (2х + 3)) = 0; б)

821. У першому сплаві є 40% міді, а в другому — 10%. Скільки кілограмів другого сплаву потрібно додати до 10 кг першого, щоб отримати 30-відсотковий сплав міді?

822. Відстань між містами A і B дорівнює 190 км. З міста A до міста B виїжджає автомобіль і рухається зі швидкістю 90 км/год. На якій відстані від міста B він буде через t год? Запишіть розв’язок у вигляді виразу зі змінною. Знайдіть значення цього виразу, якщо t 1,2.

25. Лінійна функція

1. Що таке лінійна функція. Розглянемо кілька прикладів.

Нехай тіло рухається рівномірно і прямолінійно зі швидкістю 20 м/с й напрям його руху збігається з напрямом осі х (рис. 22). Якщо в початковий момент руху тіло перебувало на відстані 35 м від початку відліку, то через t с тіло перебуватиме на відстані S  20t + 35 метрів від нього.

Рис. 22

Нехай у басейн через трубу щохвилини вливається 2,5 м3 води. Якщо в початковий момент часу в басейні було 70 м3 води, то об’єм води (у м3), яка буде у басейні через t хв, можна обчислити за формулою  2,5t + 70.

Формулами S  20t + 35, V  2,5t + 70, де t — незалежна змінна, задаються функції, які називають лінійними.

Означення

Лінійною функцією називають функцію, яку можна задати формулою виду у kx + b, де х — незалежна змінна, k і — деякі числа.

У формулі y kx + b змінній х можна надавати будь-яких значень, тому область визначення лінійної функції утворюють усі числа.

2. Графік лінійної функції. Побудуємо графік лінійної функції у  0,5х – 1. Для цього складемо таблицю кількох значень х та відповідних значень у:

х

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

у

–3,5

–3

–2,5

–2

–1,5

–1

–0,5

0

0,5

1

1,5

Позначимо точки, координати яких подані в таблиці, на координатній площині (рис. 23). Приклавши лінійку, переконуємося, що усі позначені точки лежать на одній прямій. Якби для інших значень х обчислили відповідні значення у і позначили б точки з такими координатами на координатній площині, то й вони лежали б на цій прямій.

Через позначені точки проведемо пряму. Вона є графіком лінійної функції у  0,5х – 1.

Рис. 23

Взагалі, графіком лінійної функції є пряма.

Щоб побудувати графік лінійної функції, досить знайти координати лише двох точок графіка, позначити ці точки на координатній площині й провести через них пряму. Так, щоб побудувати графік функції у  0,5х – 1, досить було взяти дві точки, наприклад, (0; –1) і (2; 0) та провести через них пряму.

3. Кутовий коефіцієнт. У формулі лінійної функції у  0,5х – 1 коефіцієнт біля змінної х додатний: k  0,5 > 0. Графік цієї функції утворює гострий кут з додатним напрямом осі х (див. рис. 23). На рисунку 24 зображено графік лінійної функції у  –2х + 1. Для цієї функції k  –2 < 0 і її графік утворює тупий кут з додатним напрямом осі х.

Отже, від коефіцієнта k залежить кут, який утворює графік функції  kx b з додатним напрямом осі х. Тому число k називають кутовим коефіцієнтом прямої y kx + b.

Рис. 24

Якщо k > 0, то пряма y  kx + b утворює з додатним напрямом осі х гострий кут, якщо k < 0, — тупий кут.

Якщо k  0, то формула, якою задається лінійна функція, має вигляд y  0x + b, тобто y b. Така функція для всіх значень х набуває одного й того ж значення b. Наприклад, лінійна функція y  2 для всіх значень х набуває значення  2. Тому графіком функції є пряма, утворена точками (x; 2), де x — будь-яке число. Ця пряма паралельна осі х (рис. 25).

Рис. 25

Щоб побудувати графік функції y  2, досить було позначити на осі у точку з ординатою 2 і провести через неї пряму, паралельну осі х.

4. Властивості лінійної функції y  kx + b.

1) Область визначення функції утворюють усі числа.

2) Якщо k  0, то область значень функції утворюють усі числа; якщо k  0, то функція набуває лише одного значення у  b.

3) Графіком функції є пряма.

4) Графік функції утворює з додатним напрямом осі х гострий кут, якщо k > 0, тупий кут, — якщо k < 0. Якщо k  0, то графік паралельний осі х, зокрема, якщо k  0 і b  0, то він збігається з віссю х.

5. Функція у  kx. У формулі y  kx + b, якою задається лінійна функція, покладемо b  0. Одержимо формулу ykx, якою задається функція, яка є окремим але досить важливим випадком лінійної функції і служить моделлю багатьох реальних процесів. Розглянемо приклади.

1. Нехай тіло рухається зі швидкістю 20 м/с. Тоді шлях м, пройдений ним за час t с, можна обчислити за формулою  20t. Ця формула задає шлях S як функцію від часу t.

2. Густина заліза дорівнює 7,8 г/см3. Масу m г заліза, об’єм якого дорівнює V см3, можна обчислити за формулою  7,8V. Ця формула задає масу m як функцію від об’єму V.

Перейшовши у прикладах до прийнятих позначень аргументу і функції, матимемо функції, що задаються формулами у  20x та у  7,8x, тобто формулами виду ykx, де  0.

Функцію, яку можна задати формулою виду уkx, де хнезалежна змінна, k — деяке число,  0, називають ще прямою пропорційністю.

Оскільки пряма пропорційність є окремим випадком лінійної функції, то графіком прямої пропорційності є пряма. Ця пряма проходить через початок координат (бо якщо х  0, то у  0 = 0).

Для побудови графіка прямої пропорційності досить знайти яку-небудь точку графіка, відмінну від початку координат, і провести через цю точку та початок координат пряму.

Побудуємо графік функції Знайдемо координати якої-небудь точки графіка, відмінної від початку координат: якщо х  3, то у  1. Позначимо на координатній площині точку (3; 1) і проведемо через неї та через початок координат пряму (рис. 26). Ця пряма є графіком функції

На рисунку 27 зображено графіки функцій виду ykx для різних значень k.

Рис. 26

Рис. 27

Якщо > 0, то графік функції ykx розміщений у першій і третій координатних чвертях, а якщо < 0, — у другій і четвертій чвертях.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]