Завдання для самоперевірки № 5
1 Рівень
1. Виконайте множення (a х)(a + х) і вкажіть правильну відповідь:
a) a2 2ах + х2; б) a2 + 2ах + х2; в) a2 + х2; г) a2 х2.
2. Піднесіть до квадрата (b 4)2 і вкажіть правильну відповідь:
а) b2 4b + 16; б) b2 – 16; в) b2 8b + 16; г) b2 + 8b + 16.
3. Розкладіть на множники многочлен у2 9 та вкажіть правильну відповідь:
a) (у 9)(у + 9); б) (у 3)(у 3); в) (у 3)(у + 3); г) (у + 3)(у + 3).
4. Обчисліть 852 – 152 та вкажіть правильну відповідь:
а) 140; б) 4900; в) 7000; г) 6125.
5. Подайте тричлен х2 + 4х + 4 у вигляді квадрата двочлена та вкажіть правильну відповідь:
а) (х 2)2; б) (х + 4)2; в) (х – 4)2; г) (х + 2)2.
6. Подайте тричлен a2 10a + 25 у вигляді квадрата двочлена та вкажіть правильну відповідь:
а) (а 10)2; б) (а 5)2; в) (а 3)2; г) (а + 5)2.
2 Рівень
1. Спростіть вираз (3 a)(3 + a) + (1 a)2 та знайдіть його значення, якщо a = 0,5.
2. Піднесіть до квадрата:
а) (4 + 3b)2; б) (2a – 5)2.
3. Розв’яжіть рівняння:
а) (х – 2)2 x2 = 12; б) (x + 3)(х – 3) – x2 = 3x.
4. Розкладіть на множники:
a) 9у2 16; б) 3x2 3y2; в) 27a3 b3.
5 Подайте у вигляді квадрата двочлена:
a) 9a2 + 12a + 4; б) 100a2 + b2 20ab.
3 Рівень
1. Спростіть вираз:
а) (2x 7y)2 + (2x + 7y)2 8x2; б) (2 3b2)(3b2 + 2) + (3b2 1)2.
2. Доведіть тотожність: (a + 1)(a – 1)(a2 + 1) – (a2 – 1)2 – 2a2 = –2.
3. Розкладіть на множники:
а) b6 4b4; б) 0,001a3 27b3; в) 0,8a3 + 0,4a2 + 0,4a4.
4. Доведіть, що вираз x2 + 10x 27 набуває лише від’ємних значень.
5. Розв’яжіть рівняння:
а) (2х + 3)2 + (х + 5)(2х + 5) = 16; б) x2 2x 35 = 0.
4 Рівень
1. Спростіть вираз:
а) ((x + 2y2)(x – 2y2))2 + 16y8; б) (a + 1)(a – 1)(a2 + a + 1)(a2 – a + 1).
2. Розкладіть на множники:
а) m3 n3 + 3m2 + 3mn + 3n2; б) а2 + b2 + c2 - x2 + 2ab + 2bc + 2ca.
3. Розв’яжіть рівняння:
а) (x2 1)(x2 + 1)(x4 + 1) = x8 + 4x; б) x3 9 = x 9x2.
4. Число n при діленні на 5 дає в остачі 3, а число m в остачі 4. Доведіть, що число n2 + m2 ділиться на 5.
5. Доведіть, що
многочлен
набуває лише невід’ємних значень.
Розділ ІІІ. Функції |
Усе в природі перебуває у стані зміни і розвитку. Вивчаючи явища, пов’язані із цією невід’ємною рисою природи, вчені дійшли до понять змінної величини і функції. У даному розділі ми з’ясуємо, що таке функція, графік функції, що таке лінійна функція та які її властивості. |
§ 6. Функції
23. Функція. Способи задання функції
1. Функції та способи їх задання. Нехай сторона квадрата дорівнює а см, а його периметр — Р см. Знаючи сторону а, за формулою P 4а можна знайти відповідне їй значення периметра P. Наприклад,
якщо а 6, то P 4 · 6 24;
якщо а 0,1, то P 4 · 0,1 0,4;
якщо а 2,5, то P 4 · 2,5 10.
Бачимо, що значення периметра залежать від того, яких значень ми надавали довжині сторони квадрата. Зауважимо також, що кожному значенню довжини сторони відповідає одне певне значення периметра. Так, значенню а 6 відповідає значення P 24, значенню а 0,1 — значення P 0,4.
У даному прикладі маємо дві залежні змінні а і P — довжину сторони квадрата і його периметр. Значення змінної а можна вибрати довільно, а значення змінної Р залежать від вибраних значень а. Тому а називають незалежною змінною, а Р залежною змінною.
Розглянемо ще один приклад залежності між змінними.
Водій вирішив простежити за лічильником, яку відстань він проїде за 1 год, 2 год, 3 год, 4 год, 4,5 год, 5 год. Результати спостережень він записав у вигляді таблиці:
-
t, год
1
2
3
4
4,5
5
S, км
82
170
225
300
335
380
У даному прикладі маємо дві залежні змінні: час t і шлях S, пройдений за цей час. Значення шляху залежать від значень часу. Так, часу t 2 відповідає значення шляху S 170, часу t 4,5 — значення шляху S 335. До того ж, кожному значенню часу відповідає одне певне значення шляху. Тому в даному випадку t є незалежною змінною, а S — залежною змінною.
У математиці, як правило, незалежну змінну позначають буквою х, а залежну змінну — буквою у. У розглянутих прикладах кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. За таких умов для залежної змінної використовують термін «функція».
Означення |
Змінну у називають функцією від змінної х, якщо кож-ному значенню змінної х відповідає одне певне значення змінної у. |
Для незалежної змінної теж є спеціальний термін: її називають аргументом. Кажуть: у є функцією від аргументу х.
Отже, в розглянутих прикладах:
периметр Р квадрата є функцією від довжини його сторони а; тут Р — функція, а — аргумент;
шлях S є функцією від часу t; тут S — функція; t — аргумент.
Перша функція задана формулою P 4а. Друга функція задана таблицею.
2. Область визначення та область значень функції. Усі значення, яких набуває незалежна змінна (аргумент), утворюють область визначення функції; усі значення, яких набуває залежна змінна (функція), утворюють область значень функції.
Так, область визначення функції, що задається формулою P 4а, утворюють усі значення, яких може набувати змінна а. Оскільки ця змінна визначає довжину сторони квадрата, то а може набувати лише додатних значень. Отже, область визначення цієї функції утворюють усі додатні числа.
Область значень функції, що задається формулою P 4а, утворюють усі значення, яких може набувати залежна змінна Р. Периметр Р не може дорівнювати від’ємному числу або нулю, однак може дорівнювати будь-якому додатному числу. Наприклад, Р може дорівнювати 2, бо 2 — це периметр квадрата зі стороною 0,5. Отже, область значень цієї функції утворюють усі додатні числа.
Область визначення функції, заданої таблицею, утворюють числа 1; 2; 3; 4; 4,5; 5 (числа першого рядка таблиці); область значень цієї функції утворюють числа 82; 170; 225; 300; 335; 380 (числа другого рядка таблиці).
Розглянемо функцію, задану формулою y x2 + 1, де 0 х 10. Такий запис означає, що областю визначення функції є всі значення х, які задовольняють нерівності 0 х 10.
Якщо функція задана формулою y x2 + 1 і не вказано, яких значень можна надавати аргументу, то вважають, що область визначення функції утворюють усі числа.