Р івень в

561. Спростіть вираз:

а) (a + b  c)(a  b) + (b + c  а)(b  c) + (c + a  b)(c  a);

б) (a  b)(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸)(a¹⁶ + b¹⁶).

562. Доведіть тотожність

(a + b)(a² + b²)(a⁴ + b⁴)(a⁸ + b⁸) = a¹⁶  b¹⁶,

якщо a  b = 1.

563. Доведіть, що (2 + 1)(2² + 1)(2⁴ + 1)(2⁸ + 1)(2¹⁶ + 1) = 2³²  1.

564. Розв’яжіть рівняння (x  1)(x + 1)(x² + 1)(x⁴ + 1) = x⁸ + x.

565. Дано квадрат і прямокутник. Довжина прямокутника на 2 см більша, а ширина — на 2 см менша, ніж сторона квадрата. Що більше — площа квадрата чи площа прямокутника?

Вправи для повторення

566. Швидкість велосипедиста у 2,5 разу більша від швидкості пішохода. За 2 год пішохід долає відстань, що на 2,5 км менша від відстані, яку долає велосипедист за 1 год. Знайдіть швидкість пішохода.

567. Вкладник вніс до банку 4000 грн. За перший рік йому нарахували 8% річних, а потім банківський відсоток збільшився. У кінці другого року на рахунку вкладника було 4752 грн. Скільки відсотків річних став давати банк після збільшення ставки?

568*. Сплав міді й цинку, загальна маса якого дорівнює 3,6 кг, містить 45% міді. Скільки кілограмів міді потрібно додати до цього сплаву, щоб одержати новий сплав, який містив би 60% міді?

569. Замініть степінь добутком і запишіть одержаний добуток у вигляді многочлена:

а) (a + 1)²; б) (2b  1)²; в) (5  2x)².

570. Запишіть у вигляді виразу:

а) суму квадратів змінних х і у; б) квадрат суми змінних х і у;

в) різницю квадратів змінних а і с; г) квадрат різниці змінних а і с.

17. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів

1. Квадрат суми двох виразів. Піднесемо до квадрата суму a + b:

(a + b)² = (a + b)(a + b) = a² + аb + ab + b² = a² + 2ab + b².

Отже,

(a + b)² = a² + 2ab + b².

Одержану тотожність називають формулою квадрата суми. Вона є формулою скороченого множення, бо дозволяє підносити до квадрата суму довільних двох виразів не за правилом множення двох многочленів, а скорочено: відразу записувати квадрат у вигляді тричлена a² + 2ab + b². Формулюють формулу квадрата суми так:

Квадрат суми двох виразів дорівнює квадрату першого виразу плюс подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу.

Піднесемо до квадрата суму 2x + 3y :

(2x + 3y)² = (2х)² + 2  2x × 3y + (3y)² = 4х² + 12xy + 9y².

При піднесенні суми 2x + 3y до квадрата проміжні перетворення можна виконувати усно:

(2x + 3y)² = 4х² + 12xy + 9y².

2. Квадрат різниці двох виразів. Піднесемо до квадрата різницю a - b:

(a - b)² = (a + (-b))² = a² + 2а(-b) + (-b)² = a² - 2ab + b².

Отже, маємо таку формулу квадрата різниці:

(a - b)² = a² - 2ab + b².

Квадрат різниці двох виразів дорівнює квадрату першого виразу мінус подвоєний добуток цих виразів плюс квадрат другого виразу.

Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів ще називають квадратом двочлена.

Квадрати протилежних чисел дорівнюють один одному: (-а)² = a². Тому при піднесенні до квадрата виразів a  b та a + b можна користуватися формулами:

(-a - b)² = (a + b)² = a² + 2ab + b²;

(-a + b)² = (a - b)² = a² - 2ab + b².