П риклади розв’язання вправ

Приклад 1. Знайти значення коефіцієнта а, для яких одним із розв’язків рівняння 3x + аy = -1 є пара чисел (1; 2).

● Якщо пара чисел (1; 2) є розв’язком рівняння 3x + аy = -1, то має виконуватися рівність 3  (-1) + а  2 = -1. Розв’яжемо одержане рівняння зі змінною а:

-3 + 2а = -1;    2а = -1 + 3;    2а = 2;    а = 1.

Відповідь. а = 1. ●

Усно

890. Серед поданих рівнянь назвіть лінійні рівняння із двома змінними:

a) xy = 3; б) х + 2y = 7; в) x + y² = 4;

г) x  y = 1; д) 12x + 10y = 0; е) 0x  2y = 3;

є) 3x + 0y = 0; ж) 0x + 0y = 0; з) 0x + 0y = 1.

891. Чи є розв’язком рівняння 2x  y = 3 пара чисел:

а) х = 2, y = 1;      б) х = 1, y = 2?

892. Чи є розв’язками рівняння x + 3y = 9 пари чисел (1; 1); (6; 1)?

893. Вкажіть кілька розв’язків рівняння x + y = 7.

Р івень а

894. Які з пар чисел (2; 2), (1; 3), (1; 3,5), (4; 1), є розв’язками рівняння 3x + 2y = 10?

895. Які з пар чисел (2; 2), (1; 2), (1; 1), є розв’язками рівняння 4x - 3y = 2?

Знайдіть які-небудь два розв’язки рівняння:

896. а) 2x + 3y = 8; б) x - 3y = -1.

897. а) x + 2y = 7; б) 3x - y = 2.

Складіть яке-небудь лінійне рівняння, розв’язком якого є пара чисел:

898. а) х = 1, y = 3;      б) (-2, 1).

899. а) х = 2, y = 1;      б) (2, -2).

Р івень б

900. З рівняння 2x + y = 5 виразіть:  а) змінну х через змінну y; б) змінну y через змінну x.

Виразіть з рівняння змінну y через змінну x та знайдіть два які-небудь розв’язки рівняння:

901. а) х  y = 7; б) 3х + 2y = 15.

902. а) 2х + y = 5; б) 5х  2y = 10.

903. Серед розв’язків рівняння 3x + 5y = 16 знайдіть таку пару чисел, яка складається із двох однакових чисел.

904. Знайдіть значення коефіцієнта а в рівнянні ах + 3y = 10, коли відомо, що розв’язком цього рівняння є пара чисел (1; 2).

905. Пара чисел (3; 2) є розв’язком рівняння 2x + by = 12. Знайдіть b.

906. Розв’яжіть рівняння:

а) 0х  2y = 6; б) 3х + 0y = 9.

Р івень в

907. Розв’яжіть рівняння в цілих числах (тобто знайдіть усі пари цілих чисел, які є розв’язками рівняння):

а) 2х  5y = 7; б) 3х + 2y = 10; в) 4х + 9y = 6.

Розв’язання. а) Вибираємо змінну, коефіцієнт біля якої має менший модуль, тобто змінну х. Виразимо цю змінну через змінну y:

2х  5y = 7; 2х = 5y + 7; х =   y +  .

Перетворимо праву частину одержаного рівняння так:

х =  y +   =  2y +  y + 3 +   = 2y + 3 +  (y + 1).

Отже,

х = 2y + 3 +  (y + 1).

Нехай для деяких цілих значень змінних остання рівність є правильною. Оскільки х та 2y + 3 — цілі числа, то (y + 1) також має бути цілим числом. Отже, y + 1 має ділитися на 2, звідки: y + 1 = 2k; y = 2k  1, де k  деяке ціле число. Підставивши y = 2k  1 у формулу для змінної х, матимемо:

х = 2(2k  1) + 3 +  (2k  1 + 1) = 4k  2 + 3 + k = 5k + 1.

Якщо х = 5k + 1, y = 2k  1, то рівняння 2х  5y = 7 перетворюється у правильну числову рівність. Справді,

2(5k + 1)  5(2k  1) = 10k + 2  10k + 5 = 7.

Отже, розв’язками рівняння 2х  5y = 7 є пари цілих чисел: х = 5k + 1; y = 2k  1, де k  довільне ціле число.

(Надаючи k у формулах для х та y різних цілих значень, одержуватимемо різні цілі розв’язки рівняння 2х  5y = 7. Наприклад, якщо k = 0, то маємо розв’язок х = 1, y = 1; якщо k = 1,  розв’язок х = 6, y = 1.)

908. Знайдіть усі натуральні розв’язки рівняння 5х + 6y = 57.

909. Знайдіть усі значення а, для яких одним із розв’язків рівняння 2(5а + 1)²х  5(2а  1)²у = 7  є пара чисел (2; 5).