Р івень в
412. Спростіть вираз (n натуральне число):
а) xn + 2(xn + 3 1) xn(xn + 5 x2);
б) аn + 1(аn + 1 4) аn(аn + 2 – 4a + 1);
в) xn(xn +1(xn + 2 + xn + 1(x2 x + 1))).
413. Доведіть тотожність:
а(1 + а + а2 + … + а9 + а10) (1 + а + а2 + … + а9 + а10) = а11 1.
414. Доведіть, що значення виразу
3xn + 2уn + 1(2x2у3 4xу + 6) 2xn + 1уn(3x3у4 6x2у2 + 9ху),
де n натуральне число, не залежать від значень x і у.
415. Учні 7 класу прийшли до театру. В антракті всі вони побігли в буфет. Кожен хлопець купив пиріжок, а кожна дівчина булочку. Якби кожна дівчина купила пиріжок, а кожен хлопець булочку, то вони разом витратили б на 50 к. менше. Пиріжок дорожчий від булочки на 10 к. Кого було більше — хлопців чи дівчат — і на скільки більше?
416. У банці було 3 л спирту. З неї відлили х л спирту і долили таку ж кількість води. Потім, коли спирт і вода змішалися, з банки відлили х л суміші. Скільки літрів спирту залишилося в банці?
Вправи для повторення
417. Перший автомобіль долає шлях між двома містами за 1,5 год, а другий за 1,2 год. Швидкість другого автомобіля більша від швидкості першого на 15 км/год. Знайдіть відстань між містами.
418. З міста А до міста В одночасно виїхали легковий автомобіль і автофургон. Коли через 2,5 год легковий автомобіль прибув до міста В, автофургону залишалося їхати до міста В ще 30 км. Знайдіть відстань між містами, якщо швидкість легкового автомобіля в 1,2 разу більша від швидкості автофургона.
4
19*. Пірати
захопили скриню із золотими монетами
й вирішили поділити здобич порівну.
Якби піратів було на 10 менше, то кожному
дісталося б монет в 1,2 разу більше.
Скільки було піратів?
420. Виконайте множення одночленів:
а) 5a2 · 3a3; б) 0,2a3b · 10a; в) 2ax · (–0,3ax2);
г) 4m · 3m2n; д) –2cd · (–3c4d); е) 4a3b · (–0,5a2b3).
421. Запишіть у вигляді виразу:
а) добуток двочленів a – b і 2a + b;
б) добуток суми виразів 2a і 3b та їх різниці.
13. Множення многочлена на многочлен
Помножимо многочлен а + b на многочлен c + d. Щоб звести множення цих многочленів до множення многочлена на одночлен, позначимо многочлен c + d через х. Тоді:
(a + b)(c + d) = (a + b)x = ax + bx.
Повернувшись до заміни х = c + d, матимемо:
ax + bx = a(c + d) + b(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Отже, добутком многочлена а + b і многочлена c + d є многочлен ac + ad + bc + bd:
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.
Вираз ac + ad + bc + bd ми одержали б одразу, якби помножили a на c і d, потім b на c і d і одержані добутки додали. Можна сказати й так: добуток ac + ad + bc + bd можна одержати, якщо помножити кожний член многочлена a + b на кожний член многочлена с + d й одержані добутки додати.
Приходимо до такого правила:
-
Щоб помножити многочлен на многочлен, досить кожний член одного многочлена помножити на кожний член іншого многочлена й одержані добутки додати.
Помножимо за цим правилом многочлен 2а2 + b2 на многочлен 2а b:
(2а2 + b2)(2а b) = 2a2 × 2a + 2a2 × (b) + b2 × 2a + b2 × (b) =
= 4a3 2a2b + 2ab2 b3.
Виконуючи множення многочленів, проміжні результати можна не записувати:
(2а2 + b2)(2а b) = 4a3 2a2b + 2ab2 b3.
У наведених прикладах добуток двох многочленів ми записували у вигляді многочлена. Взагалі, добуток будь-яких многочленів завжди можна записати у вигляді многочлена.