- •Алгебра Підручник для 7 класу
- •Юні друзі!
- •§ 1. Рівняння
- •1. Поняття рівняння
- •Приклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •2. Розв’язування рівнянь. Властивості рівнянь
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •3. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Підсумок
- •Д ля тих, хто хоче знати більше Рівняння з модулями
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •4. Розв’язування задач за допомогою рівнянь
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 1
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 2. Цілі вирази
- •5. Вирази зі змінними. Цілі вирази
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •6. Тотожно рівні вирази. Тотожності
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 2
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 3. Одночлени
- •7. Степінь з натуральним показником
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •8. Властивості степеня з натуральним показником
- •1. Множення степенів з однаковими основами.
- •2. Ділення степенів з однаковими основами.
- •3. Піднесення степеня до степеня.
- •4. Піднесення добутку до степеня.
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •9. Одночлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 3
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 4. Многочлени
- •10. Многочлен та його стандартний вигляд
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •11. Додавання і віднімання многочленів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •12. Множення одночлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •13. Множення многочлена на многочлен
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •14. Розкладання многочленів на множники способом винесення спільного множника за дужки
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •15. Розкладання многочленів на множники способом групування
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 4
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 5. Формули скороченого множенея
- •16. Множення різниці двох виразів на їх суму
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •17. Квадрат суми і квадрат різниці двох виразів
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •18. Розкладання на множники різниці квадратів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •19. Розкладання многочленів на множники з використанням формул квадрата суми і квадрата різниці
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •20. Різниця і сума кубів двох виразів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Рівень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •21. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •22. Застосування перетворень виразів
- •1. Порівняння значень многочлена з нулем.
- •2. Знаходження найбільшого і найменшого значень виразів.
- •3. Розв’язування задач на подільність.
- •4. Знаходження значень многочлена за допомогою мікрокалькулятора.
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 5
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 6. Функції
- •23. Функція. Способи задання функції
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •24. Графік функції. Функція як математична модель реальних процесів
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Рівень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •25. Лінійна функція
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 6
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •26. Рівняння із двома змінними
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •27. Графік лінійного рівняння із двома змінними
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •28. Системи двох лінійних рівнянь із двома змінними
- •1. Системи лінійних рівнянь із двома змінними та їх розв’язки.
- •2. Розв’язування систем лінійних рівнянь графічним способом.
- •П риклади розв’язання вправ
- •29. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом підстановки
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •30. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом додавання
- •Д ля тих, хто хоче знати більше
- •Вправи для повторення
- •31. Розв’язування задач за допомогою систем рівнянь
- •П риклади розв’язання вправ
- •Р івень а
- •Р івень б
- •Р івень в
- •Вправи для повторення
- •Запитання і вправи для повторення § 7
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •1 Рівень
- •2 Рівень
- •3 Рівень
- •4 Рівень
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності До § 1. Лінійні рівняння з однією змінною
- •До § 2. Цілі вирази
- •До § 3. Одночлени
- •До § 4. Многочлени
- •До § 5. Формули скороченого множення
- •До § 6. Функції
- •До § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Логічні задачі
- •Вітчизняні математики
- •Відомості з курсу математики 5–6 класів Подільність натуральних чисел
- •Найбільший спільний дільник
- •Найменше спільне кратне
- •Десяткові дроби
- •Звичайні дроби
- •Додатні та від’ємні числа
- •Відповіді
- •Завдання для самоперевірки № 1
- •Завдання для самоперевірки № 2
- •Завдання для самоперевірки № 3
- •Завдання для самоперевірки № 4
- •Завдання для самоперевірки № 5
- •Завдання для самоперевірки № 6
- •Завдання для самоперевірки № 7
- •Задачі за курс алгебри 7 класу
- •Задачі підвищеної складності
- •Предметний покажчик
- •Розділ і. Лінійні рівняння з однією змінною
- •Розділ іі. Цілі вирази
- •Розділ ііі. Функції
- •§ 6. Функції
- •Розділ іv. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •§ 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними
- •Навчальне видання
- •Алгебра
- •46010, М. Тернопіль, вул. Поліська, 6а. Тел. 8-(0352)-43-10-31, 43-15-15, 43-10-21.
Р івень в
672. Доведіть тотожність:
а) (a + b)(a2 - ab + b2 + 3a 3b + 3) = (a + 1)3 + (b 1)3;
б) a4 b4 = (a b)(a3 + a2b + ab2 + b3);
в) a5 b5 = (a b)(a4 + a3b + a2b2 + ab3 + b4);
г) a5 + b5 = (a + b)(a4 a3b + a2b2 ab3 + b4).
Доведіть, що значення виразу ділиться на дане число:
673. а) 1245 - 745 на 50; б) 875 + 885 на 175.
Вказівка. Використайте тотожності в) і г) задачі 670.
674. а) 610 + 810 на 100; б) 315 - 220 на 11.
675. Сума і добуток двох чисел відповідно дорівнюють 3,5 і 3. Знайдіть суму кубів цих чисел.
Вправи для повторення
676. Спростіть вираз:
а) (2x - y)(x - 2y) + 5xy; б) (3a - b)(-a + 3b) + 3(a2 + b2);
в) (a2 - a + 1)(a2 + a + 1) - (а2 + 1)2.
677. Обчисліть:
а) 410 - (45 + 3)(45 - 3); б) 212 312 - 4 - (66 + 4)(66- 4).
678. Поїзд затримали на станції А на 10 хв, однак він надолужив згаяний час на перегоні між станціями А і В, пройшовши його зі швидкістю 105 км/год, замість запланованої швидкості 90 км/год. Знайдіть відстань між станціями А і В.
679*. Розв’яжіть рівняння:
а) |2х + 5| = |3х - 2|; б) |х(х + 1)| = |2х|.
21. Застосування кількох способів для розкладання многочленів на множники
Часто, розкладаючи многочлен на множники, потрібно використати кілька способів. Якщо це можливо, то розкладання доречно починати з винесення спільного множника за дужки.
Розглянемо кілька прикладів.
1. Розкладемо на множники многочлен 7a2b2 - 7b4.
7a2b2 - 7b4 = 7b2(a2 - b2) = 7b2(a - b)(a + b).
Спочатку винесли спільний множник 7b2 за дужки, а потім застосували формулу різниці квадратів.
2. Розкладемо на множники многочлен 6aс - 9с - 24abc + 36bc.
Усі члени многочлена мають спільний множник 3с. Винесемо його за дужки:
6aс - 9с - 24abc + 36bc = 3с(2a - 3 - 8ab + 12b).
Многочлен 2a - 3 - 8ab + 12b розкладемо на множники способом групування:
2a - 3 - 8ab + 12b = (2a - 3) - 4b(2a - 3) = (2a - 3)(1 - 4b).
Отже,
6aс - 9с - 24abc + 36bc = 3с(2a - 3)(1 - 4b).
П риклади розв’язання вправ
Приклад 1. Розкласти на множники тричлен:
а) х2 6х 16; б) а2 + 2аb 8b2.
● а) Якщо до виразу х2 6х = х2 23х додати 32, тобто 9, то одержимо вираз х2 6х + 9, який є квадратом двочлена х 3. Тому, виділивши квадрат цього двочлена, матимемо:
х2 6х 16 = х2 6х + 9 9 16 = (х 3)2 25 = (х 3)2 52 =
= (х 3 5)(х 3 + 5) = (х - 8)(х + 2);
б) a2 + 2ab - 8b2 = a2 + 2ab + b2 - b2 - 8b2 = (a + b)2 - 9b2 =
= (a + b - 3b)(a + b + 3b) = (a - 2b)(a + 4b). ●
Приклад 2. Розкласти на множники многочлен m2 4n2 mk 2nk.
● m2 4n2 mk 2nk = m2 (2n)2 (mk + 2nk) =
= (m 2n)(m + 2n) k(m + 2n) = (m + 2n)(m – 2n k). ●
Приклад 3. Розв’язати рівняння 18x3 2х = 0.
● Розкладемо ліву частину рівняння на множники:
18x3 2х = 2х(9х2 1) = 2х(3х 1)(3х + 1).
Маємо рівняння
2х(3х 1)(3х + 1) = 0,
звідки: х = 0, або 3х 1 = 0, або 3х + 1 = 0; х = 0, або х = , або х = .
Відповідь. 0; ; . ●
Р івень а
Розкладіть на множники:
680. a) 7a2 - 7b2; б) km2 - kn2; в) 9x2 36; г) 4a3 - 4a; д) x4 - x2; е) ca2 - 9cb2; є) 2a3 - 2b3; ж) 27c + b3c.
681. a) 5p2 - 5q2; б) 3b2 27; в) 24 6a2; г) 3y4 - 3y2;
д) 18xy2 - 2x; е) 4k3 + 32; є) 6a - 6ab3; ж) a3 - a5.
682. а) 3p2 + 6pq + 3q2; б) b2 + 2bc c2; в) 81 54b + 9b2;
г) 2xb2 + 8xb + 8x; д) 9a3 + 6a2 + a; е) m 10m2 + 25m3.
683. а) 4x2 + 8x + 4; б) n 14nc + 49nc2;
в) 6a2 + 24ab 24b2; г) x3 12x2 + 36х.
Знайдіть значення виразу:
684. а) 4x2 4у2, якщо x = 51; у = 49;
б) 5a2 10ab + 5b2, якщо a = 7,3; b = 2,3.
685. а) 3m2 + 6mn + 3n2, якщо m = 4,8; n = 5,2;
б) 10a2 10b2, якщо a = 63; b = 37.
Розв’яжіть рівняння:
686. а) 8x2 - 72 = 0; б) 12x2 - 3 = 0.
687. а) 5x2 - 125 = 0; б) 50x2 - 2 = 0.