4. Розв’язування задач за допомогою рівнянь

Розв’язуючи задачі за допомогою рівнянь, здебільшого дотримуються такої схеми: 1) вибирають невідоме й позначають його буквою x (або якою-небудь іншою буквою); 2) використовуючи умову задачі, складають рівняння; 3) розв’язують рівняння і відповідають на поставлені в задачі запитання.

Розглянемо приклади.

Задача 1. У двох цистернах зберігається 66 т бензину, до того ж, у першій бензину в 1,2 разу більше, ніж у другій. Скільки бензину в кожній цистерні?

● Нехай у другій цистерні є х т бензину, тоді в першій  1,2х т. У двох цистернах разом є (1,2х + х) т бензину, що за умовою дорівнює 66 т. Маємо рівняння:

1,2х + х = 66.

Розв’яжемо це рівняння: 2,2х = 66;  х = 66 : 2,2;  х = 30.

Отже, у другій цистерні є 30 т бензину, а в першій — 1,2  30 = 36 (т).

Відповідь. 36 т, 30 т. ●

Зауваження. Щоб розв’язати задачу 1, можна міркувати й так. Нехай у другій цистерні є х т бензину, тоді в першій  (66  х) т. У першій цистерні бензину в 1,2 разу більше, ніж у другій, тому 66  х = 1,2х. Далі залишається розв’язати це рівняння і записати відповідь до задачі.

Задача 2. З міста А в місто В виїхав вантажний автомобіль. Через 30 хв назустріч йому з міста В виїхав легковий автомобіль, швидкість якого на 25 км/год більша, ніж вантажного. Автомобілі зустрілися через 1,3 год після виїзду вантажного автомобіля з міста А. Знайти відстань між містами, якщо за весь час руху вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий.

● Нехай швидкість вантажного автомобіля дорівнює х км/год, тоді швидкість легкового  (х + 25) км/год.

До моменту зустрічі вантажний автомобіль був у дорозі 1,3 год, а легковий на 30 хв = 0,5 год менше: 1,3 год  0,5 год = 0,8 год. За 1,3 год вантажний автомобіль проїхав 1,3х км, а легковий за 0,8 год.— 0,8(х + 25) км. Оскільки вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий, то різниця шляхів 1,3х км і 0,8(х + 25) км дорівнює 10 км.

	Швидкість (км/год)	Час (год)	Шлях (км)
Вантажний автомобіль	х	1,3	1,3х
Легковий автомобіль	х + 25	0,8	0,8(х + 25)

Маємо рівняння:  1,3х  0,8(х + 25) = 10.

Розв’яжемо це рівняння:

1,3х  0,8х  20 = 10;   0,5х  = 30;    х = 60.

Отже, швидкість вантажного автомобіля дорівнює 60 км/год.

Відстань між містами дорівнює сумі відстаней, які проїхали обидва автомобілі, тобто (1,3х + 0,8(х + 25)) км. Знайшовши, що х = 60, матимемо:

1,3х + 0,8(х + 25) = 1,3  60 + 0,8  (60 + 25) = 78 + 68 = 146 (км).  

Відповідь. 146 км. ●

Примітка. Спираючись на розв’язання задач 1 і 2, проаналізуємо перші два кроки наведеної вище схеми розв’язування задач за допомогою рівнянь.

1) Вибір невідомого, яке ми позначали буквою, у розв’язаннях цих задач був різний. У задачі 1 ми позначили через х т одну з шуканих величин (масу бензину в другій цистерні). У задачі 2 шуканою величиною є відстань між містами. Якщо цю величину позначити через х км, то при складанні рівняння доведеться провести доволі складні міркування. Ми ж через х км/год позначили невідому швидкість вантажного автомобіля, виразили через х шляхи, які проїхали автомобілі, й склали рівняння, знаючи, що різниця шляхів дорівнює 10 км.

Отже, позначати через х (або якою-небудь іншою буквою) бажано ту невідому величину, через яку легше виражаються величини, значення яких можна прирівняти.

2) Щоб скласти рівняння, спочатку виражаємо через х ті величини, значення яких прирівнюватимемо. Після цього записуємо рівняння.

Математична модель. Вам, мабуть, уже доводилося бачити моделі човна, літака, автомобіля, виготовляти моделі куба, прямокутного паралелепіпеда. Кожна модель, залежно від її призначення, відображає певні властивості оригіналу.

Математична модель — це опис якогось реального об’єкта чи процесу мовою математики.

Опишемо мовою математики задачу 2. Шукаючи швидкість вантажного автомобіля у цій задачі, ми позначили її через х км/год. Швидкість легкового автомобіля на 25 км/год більша, ніж швидкість вантажного, що мовою математики записується так: швидкість легкового автомобіля дорівнює (х + 25) км/год.

Мовою математики шлях, який проїхав вантажний автомобіль, записується: 1,3х км, а шлях, який проїхав легковий автомобіль, — 0,8(х + 25) км.

За умовою задачі вантажний автомобіль проїхав на 10 км більше, ніж легковий, що мовою математики можна висловити так: різниця шляхів, які проїхали вантажний і легковий автомобілі, дорівнює 10 км і записати: 1,3х  0,8(х + 25) = 10.

Одержане рівняння і є математичною моделлю задачі на рух автомобіля. Побудувавши математичну модель, ми звели задачу на рух до математичної задачі — розв’язати рівняння.

Крім рівнянь, є й інші види математичних моделей, з якими ми ознайомимося при подальшому вивченні алгебри.

Історія науки знає чимало прикладів, коли в межах вдало побудованої математичної моделі за допомогою обчислень, як кажуть, «на кінчику пера», вдавалося передбачити існування нових фізичних об’єктів та явищ. Так, спираючись на математичні моделі, астрономи Дж. Адамс (Англія) у 1845 році й У. Левер’є (Франція) у 1846 році незалежно один від одного дійшли висновку про існування невідомої тоді ще планети і вказали її розміщення. За розрахунками Левер’є астроном Г. Галле (Німеччина) знайшов цю планету. Її назвали Нептуном.