Р івень а

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

953. а) б)

954. а) б) в)

г) д) е)

955. а)  б) в)

г) д) е)

Р івень б

Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

956. а) б)

в) г)

957. а)  б) в)

Знайдіть координати точки перетину графіків рівнянь, не виконуючи побудов:

958. а) х  у = 4 і х + 2у = 2; б) 5х  2у = 10 і 3х  4у = 8.

959. 7х + 4у = 9 і 2х + 5у = 9.

Знайдіть розв’язки системи рівнянь:

960. а) б)

в) г)

д) е)

961. а) б)

в) г)

962. Доведіть, що графіками рівнянь 4х  2у = 5 і 6х  3у = 6 є паралельні прямі.

963. Графіком функції є пряма, що проходить через точки A(–2; 6), B(3; 1). Задайте цю функцію формулою.

964. Графіком функції є пряма, що проходить через точки A(–3; 2), B(3; –1). Задайте цю функцію формулою.

Р івень в

965. Розв’яжіть систему рівнянь:

а) б)

в) г)

д)

966. Для яких значень коефіцієнта а система рівнянь не має розв’язку?

967. Для яких значень коефіцієнта b система рівнянь має безліч розв’язків?

Вправи для повторення

968. Розкладіть на множники:

а) 2x - 6  xу + 3у;      б) y³ - 10y² + 25у;

в) (a - 2b)² - 4a²; г) 27a³ - b³.

969. Доведіть, що значення виразу 4(а  2)²  (2а  3)² + 4а не залежать від значень а.

970. Відомо, що а² + b² = 25 і аb = -12. Знайдіть: (а + b)²; (а - b)².

971*. Вираз 2а²  аb для a = 2 і деякого значенні b набуває значення 4. Якого значення набуває для тих самих значень a і b вираз а + 2(а + (2a  b))? 

972*. Чи можна розмістити 100 книжок на трьох полицях так, щоб на другій полиці було на 20 книжок більше, ніж на першій, і на 7 книжок менше, ніж на третій?

30. Розв’язування систем лінійних рівнянь способом додавання

Розглянемо дві правильні рівності:

7 + 5 = 12;

8 + 6 = 14.

Додамо почленно ці рівності: ліву частину до лівої й праву до правої:

(7 + 5) + (8 + 6) = 12 + 14.

Знову одержали правильну рівність. Ця властивість правильних числових рівностей лежить в основі способу розв’язування систем рівнянь, який називають способом додавання. Розглянемо приклад.

Нехай треба розв’язати систему рівнянь

(1)

Додамо почленно ліві й праві частини рівнянь:

(3х + 2у) + (5х – 2у) = 21 + 19; 8х = 40.

Замінимо одне з рівнянь системи (1), наприклад, перше, рівнянням 8х = 40. Одержимо систему

(2)

Системи (1) і (2) мають одні й ті ж розв’язки (доведення подане в рубриці «Для тих, хто хоче знати більше»). Розв’яжемо систему (2). З першого рівняння знаходимо: х = 5. Підставивши це значення у друге рівняння, матимемо:

5  5  2у = 19;    25  2у = 19;     2у = 6;     у = 3.

Пара чисел (5; 3)  розв’язок системи (2), а також і системи (1).

Розв’язуючи систему (1), ми скористалися тим, що в рівняннях коефіцієнти біля змінної у є протилежними числами і після почленного додавання рівнянь одержали рівняння з однією змінною х.

Розв’яжемо ще одну систему рівнянь

(3)

У цій системі рівнянь коефіцієнти біля змінної х і коефіцієнти біля змінної у не є протилежними числами. Однак, помноживши обидві частини першого рівняння на 2, а другого  на 3, одержимо систему

у якій коефіцієнти біля х  протилежні числа. Додавши почленно рівняння останньої системи, матимемо:

17у = 102; у = 6.

Підставивши значення y в перше рівняння системи (3), знаходимо:

3х + 4  6 = 12; 3х = 12;   х = 4.

Отже, розв’язком системи (3) є пара чисел (4; 6).

Щоб розв’язати систему лінійних рівнянь способом додавання, потрібно: 1) помножити обидві частини рівнянь системи на такі числа, щоб коефіцієнти біля однієї зі змінних в обох рівняннях системи стали протилежними числами; 2) додати почленно ліві й праві частини рівнянь; 3) розв’язати одержане рівняння з однією змінною; 4) знайти відповідне значення іншої змінної.