До § 6. Функції

1184. Два хлопці змагалися у плаванні на дистанції 100 м. На рисунку 48 зображено графіки їхніх запливів на перших 60 м дистанції. Назвіть переможця, вважаючи, що кожний із хлопців плив зі сталою швидкістю. Знайдіть відстань між хлопцями через 45 с після старту; у момент фінішу переможця. 1185. Графік лінійної функції проходить через точки (–1; –2) і (2; 1). Знайдіть усі значення а, для яких точка (2а; 2  а) належала б цьому графіку.

Рис. 48

До § 7. Системи лінійних рівнянь із двома змінними

1186. Знайдіть усі значення параметра а, для яких одним з розв’язків рівняння 2(5а + 1)²х  5(2а  1)²у = 7  є пара чисел (2; 5).

1187. Розв’яжіть у цілих числах рівняння:

а) 3n – 7m = 5; б) n² – m² = 9;

в) n² + 2mn – 8m² = 7; г) n² + 2m² – 2mn – 4m + 4 = 0.

1188. Побудуйте графік рівняння: |х|  |y| = 0.

Розв’яжіть систему рівнянь:

1189. а) б)

1190. а)  б) 

1191. а)  б) 

Примітка. Рівняння систем містять 3 змінні: х, у і z. Розв’язати такі системи означає знайти всі значення змінних х, у і z, для яких кожне рівняння системи перетворюється у правильну числову рівність.

1192. Скільки розв’язків має система рівнянь залежно від значень параметра а?

1193. Для яких значень а система рівнянь має два розв’язки?

1194. Дано 10 чисел. Відомо, що сума будь-яких дев’яти із цих чисел дорівнює 1. Чому дорівнює сума усіх даних чисел?

1195. Двома паралельними залізничними коліями рухаються назустріч один одному два поїзди. Довжина першого поїзда дорівнює 130 м, а другого  104 м. Зустрівшись, поїзди протягом 4,68 с йшли один повз другий. Якби поїзди рухалися в одному напрямі й перший поїзд переганяв другий, то вони йшли б один повз другий протягом 46,8 с. Знайдіть швидкість кожного поїзда.

Логічні задачі

1196. До вершини гори ведуть сходи, що мають 1001 сходинку. На найнижчих 500 сходинках лежать камені — по одному на сходинці. Сізіф може взяти довільний камінь і перенести його вгору, але не далі як на найближчу вільну сходинку. Після цього Аїд може скотити вниз на одну сходинку довільний камінь, якщо попередня сходинка є вільною. Сізіф та Аїд діють по черзі. Починає Сізіф, і його мета — покласти камінь на верхню сходинку. Чи може Аїд цьому завадити?

1197. На дошці написані числа 1, 2, 3, …, 21. Дозволяється стерти будь-які два числа і написати їх різницю (якщо стерли числа а і b, то можна написати число а – b або число b - а). Повторивши цю операцію 20 разів, одержимо одне число. Чи може це число дорівнювати: а) 1; б) 0?

1198. Книга має 320 сторінок. Чи можна вибрати деяких 15 аркушів цієї книги так, щоб сума номерів вибраних 30 сторінок дорівнювала 1500?

1199. П’ять рибалок наловили 9 рибин. Доведіть, що принаймні двоє з них наловили рибин порівну.

1200. Двоє з чотирьох друзів завжди кажуть правду, а двоє — завжди брешуть. Одного разу відбулася така розмова.

Другий до першого: «Ти брехун».

Третій до другого: «Сам ти брехун».

Четвертий до третього: «Обидва вони брехуни, як і ти, до речі».

Хто з них каже правду?

1201. Чи можна з 82 куль, кожна з яких має певний колір, вибрати 10 куль так, щоб усі вони мали різні кольори або деякий один колір?

1202. В абетці мови острова Абаба є лише дві букви а і б. Ім’я будь-якого жителя острова можна одержати, замінюючи у слові Абаба записані підряд букви аб на ббб, ба — на ааб, чи бб — на ааа (заміну можна робити кілька разів). Чи є на острові житель з ім’ям Бааабба?