Завдання для самоперевірки № 7

1 Рівень

1. Вкажіть розв’язки рівняння х  у = 2:

а) (3; 2); б) (3; 1); в) (5; 2); г) (3; 2).

2. Яка з пар чисел є розв’язком системи рівнянь

а) (3; 3); б) (2; 2); в) (2; 1); г) (1; 5).

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки та вкажіть правильну відповідь:

а) (1; 1); б) (0; 2); в) (2; 0); г) (4; 2).

4. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання та вкажіть правильну відповідь:

а) (2; 8); б) (4; 10); в) (4; 2); г) (2; 4).

5. Сума двох чисел дорівнює 21, до того ж, одне з них на 5 більше від іншого. Знайдіть ці числа.

Нехай більше число дорівнює х, а менше  у. Яка система рівнянь відповідає умові задачі?

а) б) в) г)

2 Рівень

1. Доберіть замість зірочок такі числа, щоб пари (3; _* ) і ( _* ; 2) були розв’язками рівняння 5х  2у = 9.

2. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки.

4. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання.

5. У магазині борошно продають у малій та великій упаковках. Загальна маса малої та великої упаковок борошна дорівнює 7 кг, а 2 малі й 3 великі упаковки мають загальну масу 19 кг. Яка маса малої упаковки борошна і яка великої?

3 Рівень

1. Знайдіть таке число а, щоб графік рівняння 2х  ау = 2 проходив через точку (1; 2).

2. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

3. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання.

4. Розв’яжіть систему рівнянь

5. За цукерки і печиво мама заплатила 15 грн. Відомо, що 25% вартості цукерок менші, ніж третина вартості печива, на 1 грн. 50 к. Скільки гривень мама заплатила за цукерки і скільки за печиво?

4 Рівень

1. Знайдіть такі числа а і b, щоб графік рівняння 2ах  (b + 2)у = 2 проходив через точки (1; 4) і (2; 2).

2. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

3. Розв’яжіть систему рівнянь

4. Для якого значення коефіцієнта а система рівнянь має безліч розв’язків?

5. Є сталь двох сортів із вмістом нікелю 5% і 40%. Скільки сталі кожного сорту потрібно взяти, щоб після переплавки одержати 70 т сталі, яка містила б 30% нікелю?

Задачі за курс алгебри 7 класу

1047. Купили 2 кг огірків по а грн. за кілограм і 5 кг помідорів по b грн. за кілограм. Запишіть у вигляді виразу вартість покупки.

1048. Автомобіль протягом t год рухався зі швидкістю 80 км/год і протягом 2 год — зі швидкістю 70 км/год. Запишіть у вигляді виразу шлях, який проїхав автомобіль за весь час руху. Знайдіть значення цього виразу, якщо t = 1,2.

1049. Через першу трубу до басейну щохвилини поступає а л води, а через другу — b л. Скільки літрів води поступить до басейну через обидві труби за 3 год?

1050. Знайдіть значення степеня:

а) 9⁴; б) (3)⁵; в) (2,5)³; г)

1051. Подайте у вигляді степеня з основою а:

a) а²а⁴; б) а⁷ : а; в) (а³)⁵; г) (а⁵  а)⁴.

1052. Обчисліть:

 а) 0,4⁵  2,5⁵; б) (2²  0,5²)⁷  0,25⁴  4⁴; в)

1053. Подайте одночлен у стандартному вигляді та вкажіть його степінь:

 a) 8х²ху; б) 3а²b  2(а⁵)²; в) m³  3m²n  5n⁴;

 г) 0,5ас  (4а³с)²   а²с; д)  е) 

1054. Подайте одночлен 12a⁴b⁵ у вигляді добутку двох одночленів стандартного вигляду, одним з яких є: 2a²b²; 4a³b; 0,5b.

1055. Подайте одночлен 9a⁶b² у вигляді квадрата одночлена.

1056. Подайте одночлен 27х⁶у⁹ у вигляді куба одночлена.

1057. Знайдіть значення одночлена:

а) 4а³b, якщо а =  b =  б) (2х³у)²  у⁴, якщо х = 0,25; у = 4.

1058*. Спростіть вираз, де n — натуральне число:

а) (х³)³ⁿ  (х⁵х^n + 1)²; б) (аⁿ)¹⁷  (a²)⁹.

1059. Запишіть многочлен у стандартному вигляді та знайдіть його степінь:

а) 3x² - 6х + х² - 3 + x; б) 3а × 2ab + a⁵   a³ - 7a²b ;

в) 0,6a²b - 1,4b²a + 2,8а²b + 3,3аb²; г) 5x³ +  x² -  x³ -  x².

1060. Спростіть вираз:

а) 8а² + 4а  3  (7  8а + 3а²);  б) х  3х²у  ху + (х²  3х²у + ху);

в) 

Виконайте множення:

1061. а) 4а(а²  4а + 3);  б) (2х²  4х + 8)(0,5х²);

в) (4ab² + 9а²)(2b²  3a); г) (a  7)(b + 1)(c  2).

1062. а) (b + 2c)(b - 2c); б) (5x - 2y)(5x + 2y);

в) (1,4a - 0,3b)(0,3b + 1,4a); г)

1063. Піднесіть до квадрата:

а) (2х + 3)²; б) (3с - 1)²; в) (0,4b - 5а)²; г)

Спростіть вираз:

1064. а) (х  3)(х² + х + 3)  х³;  б) 3с  (с  2)(2с²  с + 1)  5с²;

в) (5 + х)(5 - х) + х²; г) (2b - 9)(2b + 9) - 4b²;

д) (n - 1)(n² + n + 1) - n³; е) (а + 3)(а² - 3а + 9) - 27.

1065. а) (10  3m)(2 + 3m) + (5m  4)(5 - 2m); 

б) (4a  + 9)(a²  2a + 2)  (4a  7)(а + 1)²;

в) (n² - 3n)(1 + 3n)(-1 + n) - 3n(n³ + 1);

г) (4y  5y²)² + (2y + 5y²)²  20y².

Запишіть у вигляді многочлена стандартного вигляду:

1066. а) (b + 2)(b  2)(b² + 4); б) 15х³(х² + 10)(10  х²);

в) а⁵(а⁴  (2а³ + а²(а²  2а + 3))) + 4а⁷.

1067*. а) (а² + 2а - 2)²; б) (5x - 2)³; в) (с - 3)⁴.

1068. Доведіть тотожність:

а) у(b - x) + x(b + y) = b(x + y); б) (-m + n)(m - n) = -(n - m)²;

в) (a + b + c + d)² – (a + b)²  (c + d)² = 2(a + b)(c + d);

г) (n + 1)(n + 3)(n + 5)(n + 7) + 7 =  (n² + 8n + 8)(n² + 8n + 14).

Розкладіть на множники:

1069. а) 2x + 2ху; б) а²  2а; в) 12xу³ + 8ху²  16х²у.

1070. а) ах  ay + 3x  3y;      б) x²у – 2х + xy  2;

в) 9уа  6yа² + 2axy  3xy;      г) 8x²a – 15y³  10x²y + 12ay².

1071.  а) 9n²  4m²; б) 120 – 30a⁴; в) 27х³ + 0,008у³;

 г) х³  (m - n)³; д) a² + 8а + 16; е) 6х²  24ху + 24у².

1072.  a)      б) а² - 4b² + 2b + a; в) х² - 4ху + 4у²  4у⁴.  

1073*. а) x²  2x – 3; б) а² + 3а – 4;  в) х²  8ху + 7у².

1074. Доведіть, що значення виразу:

а) 9⁷  3¹² ділиться на 8; б) 49⁸ + 3  7¹⁵ ділиться на 10.

1075. Обчисліть:

а) 97  103; б) 1,8  2,2; в)  52² – 48²; г) 7,35² – 6,35².

1076. Знайдіть значення виразу:

а) а³  0,5а², якщо а = 1,5;

б) х² – 2xy + y², якщо x = 0,3; y = 10,3.

1077. Доведіть, що значення виразу (х + 1)² - (х - 1)(х + 3) не залежать від значень х.

1078. Доведіть, що для будь-якого цілого значення n значення виразу:

а) (2n + 3)² - (2n - 1)² ділиться на 8;

б) (8n  4)² - 8(4n  3) не ділиться на 32.

1079. Для якого значення х значення виразу х² + 2х + 9 є найменшим?

1080. Для якого значення х значення виразу 2  х² + 4х є найбільшим?

1081*. Доведіть, що сума кубів двох послідовних цілих чисел, які не діляться на 3, кратна 9.

1082*. Чи може різниця четвертих степенів двох натуральних чисел бути простим числом?

1083*. Знайдіть найменше значення виразу х² + у²  4у  2x.

1084*. Доведіть, що коли деякі два цілі числа не діляться на 3, то їх сума або різниця діляться на 3.

1085*. Два велосипедисти проїхали шлях від пункту А до пункту В. Перший велосипедист першу половину шляху їхав зі швидкістю 20 км/год, а другу половину  зі швидкістю 16 км/год. Другий же велосипедист першу половину шляху їхав зі швидкістю 19 км/год, а другу половину  зі швидкістю 17 км/год. Хто з них затратив більше часу на шлях від А до В?

Розв’яжіть рівняння:

1086. а) 3х  18 = 57  2х;      б) 3(x – 2) – 4(х  4) = 5;

в) 250(х + 8) = 125х – 500;      г) 0,3(1 – x) = 0,4(х  1) – 0,7;

д) е)

є) ж)

1087. а) х(х + 5) – х² = 2; б) (2х + 3)(х – 1) = 2х²;

в) х(х + 0,1) = (х – 0,1)(х + 0,2); г) 

д) (х – 3)(х + 3) = (х + 1)²; е) 2х(х – 1,5)² = 2х³ – 6х² + 3.

1088. a) у³  3у² = 0; б) х³   х = 0;

в) х² – 6х + 9 = 0; г) х³ – 2х² – 4х + 8 = 0;

д) у² + 2у – 48 = 0; е) 

1089*. а) |3  2x| = 5; б) ||х|  2| = 6.

1090*. а) (|х| + 5)(3|х|  9) = 0;   б) |x(х  2)| + х²  = 0; в) х² + 2|х| + 1 = 0. 

1091*. Доведіть, що рівняння x⁴ + 1 + (x - 2)⁴ = 2х² не має коренів.

1092*. Розв’яжіть рівняння .

Розв’яжіть задачі 1093–1098, склавши рівняння.

1093. Периметр прямокутника дорівнює 68,4 см. Знайдіть сторони прямокутника, якщо одна з них на 3,6 см коротша від іншої.

1094. Сума двох чисел дорівнює 52,7, одне з них у 2,4 разу більше від другого. Знайдіть більше із цих чисел.

1095. У першій цистерні втричі більше бензину, ніж у другій. Коли з першої цистерни забрали 400 л бензину, а з другої — 800 л, виявилося, що в перший цистерні бензину стало у 8 разів більше, ніж у другій. Скільки бензину було в кожній цистерні спочатку?

1096. З міста виїхав мотоцикліст і рухався зі швидкістю 40 км/год. Через півгодини услід за ним виїхав автомобіль, швидкість якого дорівнює 60 км/год. Через скільки годин після свого виїзду з міста автомобіль наздожене мотоцикліста?

1097. Нержавіюча сталь є сплавом заліза, хрому й нікелю. Лист з такої сталі містить 15% хрому, 0,5% нікелю, а заліза — на 2,78 кг більше, ніж хрому. Знайдіть масу листа.

1098*. Автобус рухався до міста N зі швидкістю 60 км/год. Дорогою його обігнав легковий автомобіль, що їхав зі швидкістю 80 км/год. Автомобіль прибув до міста N і через 15 хв вирушив у зворотний шлях. На відстані 10 км від міста N він знову зустрів автобус. На якій відстані від міста N були автобус і автомобіль при першій зустрічі?

1099. Функція задана формулою у  –2х + 3.

а) Знайдіть значення функції, які відповідають таким значенням аргументу: –2; 0; 6.

б) Знайдіть значення аргументу, якому відповідає значення функції: 3; 1.

в) Для якого значення х значення функції дорівнює значенню аргументу?

1100. Побудуйте графік функції у  2х – 0,5. За допомогою графіка знайдіть: а) значення функції, якщо х  –0,5; х  1,5; б) значення х, для якого у  1,5.

1101. Побудуйте графік функції у  0,5х + 1, де 4  x  3. Яка область визначення та область значень функції? Чому дорівнюють найбільше та найменше значення функції? Вкажіть нулі функції. Для яких значень х функція набуває додатних значень; від’ємних значень?

1102. Побудуйте графік функції:

а) у  –х + 1, де 3  x  2;  б) y  2х² – 2, де 2  x  2.

в) у  1,5х;  г) у  –1,5х; д) у  3х + 1;  е) у  –1,5х – 1.

1103. Графік прямої пропорційності проходить через точку A(2; 7). Чи проходить цей графік через точку B(4; 14)?

1104. На рисунку 47 зображено графік функції. Знайдіть область визначення та область значень цієї функції. Задайте функцію формулою, якщо:

а) 0  х  2; б) 2  х  6.

Рис. 47

1105. Знайдіть координати точок перетину графіків функцій:

а) у  1,5х і у  –х + 5; б) у  –2х і y  х².

1106. Для якого значення b графіки функцій у  3х + b і у  2х + 4 перетинаються в точці, що лежить на осі абсцис?

1107. Чи є пара чисел (2; –1) розв’язком рівняння 2х + 5у = 3?

1108. Побудуйте графік рівняння:

а) х + 3у = 3; б) 2х  3у = 6; в) 2х = 5; г) 3у = 6.

1109. Розв’яжіть графічно систему рівнянь

Розв’яжіть систему рівнянь:

1110. а) б) в)

1111. а) б)

1112. а) б)

1113. Знайдіть точку перетину графіків рівнянь 2х + 3у = 2 і 4х  5у = 7.

1114. Чи належить точка перетину графіків рівнянь 2х + 4у = 6 і 10х  у = 12 графіку рівняння 3х + у = 1?

1115. Графік лінійної функції проходить через точки A(1; 1) і B(3; 7). Задайте цю функцію формулою.

1116*. Для якого значення k система рівнянь має безліч розв’язків?

Розв’яжіть задачі 1117–1121, склавши систему рівнянь.

1117. Сума двох чисел дорівнює 20,5, одне з них на 2,3 більше від іншого. Знайдіть ці числа.

1118. Два автоматичні станки за 8 год спільної роботи виготовляють 2000 деталей. Перший станок за 2 год і другий за 3 год разом виготовляють 630 деталей. Скільки деталей виготовляє за годину кожний станок?

1119. З пунктів А і В, відстань між якими дорівнює 17 км, вийшли назустріч один одному два туристи і зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкості туристів, якщо швидкість одного з них на 0,5 км/год менша від швидкості іншого.

1120. Братові й сестрі разом 10 років. Скільки років кожному з них, якщо через рік брат буде вдвічі старший від сестри?

1121*. Молоко однієї корови містить 5% жиру, а іншої — 3,5%. Змішавши молоко обох корів, одержали 10 л молока, жирність якого дорівнює 4%. Скільки для цього використали літрів молока від кожної корови?