Підсумок

aх = b    лінійне рівняння	Коефіцієнти	Корені
	а  0	 єдиний корінь
	а = 0 і b  0	коренів немає
	а = 0 і b = 0	коренем є будь-яке число (рівняння має безліч коренів)

Д ля тих, хто хоче знати більше Рівняння з модулями

Нагадаємо, що модулем додатного числа й числа 0 є це саме число, модулем від’ємного числа є протилежне йому число:

а = а, якщо а ≥ 0;   а = –а, якщо а < 0.

Так, 1,4 = 1,4; 0 = 0; –2 = 2. Модуль будь-якого числа x є невід’ємним числом, тобто x  0.

Рівняння x = 3, x – 5 = 1, 2x – 3 = 0, x + 3x = 1 містять змінну під знаком модуля. Такі рівняння називають рівняннями з модулем.

Рівняння виду x = a. Розв’язуючи рівняння виду x = a, де a — деяке відоме число, можна використовувати геометричний зміст модуля числа: модуль числа x — це відстань від початку відліку до точки, що зображує число x на координатній прямій.

Розглянемо рівняння x = 2. На координатній прямій існують дві точки, розміщені на відстані 2 одиниці від початку відліку. Це точки, що відповідають числам 2 і –2 (рис. 1). Тому рівняння x = 2 має два корені: 2 і –2.

Рис. 1

Рівняння x = 0 має один корінь — число 0, а рівняння x = –2 не має коренів (модуль будь-якого числа x є невід’ємним числом і не може дорівнювати –2).

У загальному випадку рівняння x = a:

має два корені a і –a, якщо a > 0;

має один корінь 0, якщо a = 0;

не має коренів, якщо a < 0.

Розв’язування рівнянь з модулями, виходячи з означення модуля числа.

Розв’яжемо рівняння

x + 3x = 4. (1)

Це рівняння не можна звести до вигляду x = a, де a — деяке число. Для його розв’язання розглянемо два випадки.

1. Якщо x — невід’ємне число (x  0), то x = x і рівняння (1) набуває вигляду x + 3x = 4, звідки x = 1. Число 1 — невід’ємне (задовольняє нерівність x  0), тому воно є коренем рівняння (1).

2. Якщо x — від’ємне число (x < 0), то x = –x і рівняння (1) набуває вигляду –x + 3x = 4, звідки x = 2. Число 2 не є від’ємним (не задовольняє нерівність x < 0), тому воно не є коренем рівняння (1).

Отже, рівняння x + 3x = 4 має один корінь x = 1.

П риклади розв’язання вправ

Приклад 1. Розв’язати рівняння 5(2х  1) = 4х  23.

● 10х  5 = 4х  23;    10х  4х = 23 + 5;   6х = 18;   х = 3.

Відповідь. 3. ●

Приклад 2. Розв’язати рівняння 3х  4 = 3(х  2).

● 3х  4 = 3х  6;   3х  3х = 6 + 4;   0х = 2 (або 0 = 2).

Відповідь. Рівняння коренів не має. ●

Приклад 3. Розв’язати рівняння 3х  2(х  1) = х + 2.

● 3х  2х + 2 = х + 2;   3х  2х  х = 2  2;   0х = 0 (або 0 = 0).

Відповідь. Коренем рівняння є будь-яке число. ●

Приклад 4. Розв’язати рівняння

● Помноживши обидві частини рівняння на 36 (36  найменше спільне кратне знаменників дробів), матимемо:

     2(2х  1) = 3х + 4;    4х  2 = 3х + 4;

4х  3х = 4 + 2; х = 6.

Відповідь. 6. ●

Примітка. Розв’язуючи рівняння, варто дотримуватися таких кроків: 1. Якщо у рівнянні є вирази з дробовими коефіцієнтами, то помножити обидві його частини на найменший спільний знаменник дробів. 2. Розкрити дужки. 3. Перенести всі доданки, які містять змінну, в одну частину рівняння (як правило, в ліву), а доданки, які не містять змінної, — в іншу частину (в праву). 4. Звести подібні доданки. 5. Поділити обидві частини рівняння на коефіцієнт біля змінної, якщо він відмінний від нуля. Якщо ж він дорівнює 0, то рівняння або не має коренів, або його коренем є будь-яке число.

Приклад 5. Розв’язати рівняння

● 

Якщо модуль числа дорівнює 3, то цим числом є 3 або –3. Тому можливі два випадки:

1) 2x – 3 = 3; 2x = 6; x = 3; 2) 2x – 3 = –3; 2x = 0; x = 0.

Відповідь. 3; 0. ●

Приклад 6. Розв’язати рівняння

●  z = 4 або z = –4.

Відповідь. –4; 4. ●

Усно

40. Які з даних рівнянь є лінійними рівняннями?

а) б) 4: х = 2; в) 2,7y = 0; г)

41. Скільки коренів має рівняння:

а) 56х = 64; б) 0х = –2; в) 8х = 0; г) 0y = 0?

42. Розв’яжіть лінійне рівняння:

а) 6х = 42; б) 4х = 12; в) 3y = 6; г) 5z = 45;

д) 3х = 2; е) 0y = 4; є) 0х = 0; ж) –2х = 0.